Le MEDAF et le bêta

Un nombre pour le risque de marché

La plupart des actions montent quand le marché monte et baissent quand il baisse. Le bêta d'un actif mesure de combien : un bêta de 1,5 signifie qu'en moyenne, une variation de 1 % du marché s'accompagne de 1,5 % pour l'actif. C'est la pente des rendements de l'actif tracés contre ceux du marché, covariance(asset, market) / variance(market). Le bêta est la part du risque que l'on ne peut pas diversifier, car tout actif du marché la porte.

import numpy as np

market = np.array([0.01, -0.02, 0.015, 0.005, -0.01, 0.02])
asset = 1.5 * market + np.array([0.002, -0.001, 0.003, 0.0, -0.002, 0.001])      # moves 1.5x the market, plus noise

market_dev = market - market.mean()
covariance = np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / (len(market) - 1)
variance = np.sum(market_dev ** 2) / (len(market) - 1)
print(round(float(covariance / variance), 4))                 # 1.5972: about 1.5, the noise moves it a little
print(round(float(np.polyfit(market, asset, 1)[0]), 4))       # the regression slope gives the same number

# Beta does not care about a constant, and scales with the asset
import numpy as np

def beta(asset, market):
    market_dev = market - market.mean()
    return float(np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / np.sum(market_dev ** 2))

rng = np.random.default_rng(4)
market = rng.normal(0, 0.01, size=100)
print(round(beta(2.5 * market, market), 4))               # 2.5   an asset that moves 2.5x the market
print(round(beta(market + 0.01, market), 4))              # 1.0   adding a constant changes nothing
print(round(beta(-market, market), 4))                    # -1.0  a perfect hedge

Le modèle d'évaluation des actifs financiers

Le MEDAF transforme cela en prix du risque. Les investisseurs sont rémunérés pour le risque de marché, et pour rien d'autre ; le rendement attendu d'un actif est donc le taux sans risque plus son bêta multiplié par la prime de risque de marché (rendement du marché moins taux sans risque) : E[R] = rf + beta * (E[R_m] - rf). Un bêta de 0 rapporte le taux sans risque, un bêta de 1 le rendement du marché, et un bêta de 2 le taux sans risque plus deux fois la prime.

def capm_expected_return(rf, beta_value, market_return):
    return rf + beta_value * (market_return - rf)

rf, market_return = 0.01, 0.06
for b in (0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0):
    print(b, round(capm_expected_return(rf, b, market_return), 4))     # 0.01, 0.035, 0.06, 0.085, 0.11

Alpha : ce qui reste

Si le MEDAF est juste, un actif rapporte exactement le rendement que son bêta justifie. L'écart entre ce qu'il a rapporté et ce que prévoyait le MEDAF est l'alpha de Jensen : mean(asset) - (rf + beta * (mean(market) - rf)). Un alpha positif signifie qu'il a fait mieux que ne l'explique son risque de marché ; c'est ce que vendent les gérants actifs, et ce qui est le plus dur à trouver. La part du mouvement que le marché n'explique pas est le risque résiduel, mesuré par l'écart-type des résidus de la régression, qui peut être diversifié.

# Alpha and residual risk of an asset with a little skill in it
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2)
market = rng.normal(0.0004, 0.01, size=500)
asset = 0.0003 + 1.2 * market + rng.normal(0, 0.005, size=500)       # true alpha 3 bps a day, beta 1.2, residual 0.5%
rf = 0.0001

market_dev = market - market.mean()
b = np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / np.sum(market_dev ** 2)
alpha = asset.mean() - (rf + b * (market.mean() - rf))
a = asset.mean() - b * market.mean()
residual = asset - (a + b * market)
print(round(float(b), 3), round(float(alpha), 5), round(float(np.sqrt(np.sum(residual ** 2) / (len(asset) - 2))), 4))

• Bêta = covariance(asset, market) / variance(market), la pente par rapport au marché ; c'est la part non diversifiable du risque.
• MEDAF : rf + beta * (market - rf) ; l'alpha de Jensen est le rendement moyen moins cela, le talent (ou la chance) au-delà du risque de marché.
• Le risque résiduel est l'écart-type de asset - (a + b * market) avec n - 2 ; il peut être diversifié ; le bêta lui-même est bruité.

À suivre : les modèles multifactoriels (Fama–French), expliquer les rendements avec plus que le marché.

Lab : ce qui est noté

• Mesurer la sensibilité au marché avec beta25 pts
• Chiffrer le risque avec capm_expected_return25 pts
• Trouver le talent, s'il existe, avec jensen_alpha25 pts
• Mesurer le risque résiduel avec residual_vol25 pts