CAPMとベータ

市場リスクを表す1つの数

ほとんどの株は市場が上がれば上がり、下がれば下がります。資産のベータはその度合いを測る数で、ベータ1.5なら市場が1%動くと平均して資産が1.5%動きます。資産のリターンを市場のリターンに対してプロットしたときの傾き、covariance(asset, market) / variance(market) です。ベータは分散では消せないリスクの部分です。市場のどの資産もそれを抱えているからです。

import numpy as np

market = np.array([0.01, -0.02, 0.015, 0.005, -0.01, 0.02])
asset = 1.5 * market + np.array([0.002, -0.001, 0.003, 0.0, -0.002, 0.001])      # moves 1.5x the market, plus noise

market_dev = market - market.mean()
covariance = np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / (len(market) - 1)
variance = np.sum(market_dev ** 2) / (len(market) - 1)
print(round(float(covariance / variance), 4))                 # 1.5972: about 1.5, the noise moves it a little
print(round(float(np.polyfit(market, asset, 1)[0]), 4))       # the regression slope gives the same number

# Beta does not care about a constant, and scales with the asset
import numpy as np

def beta(asset, market):
    market_dev = market - market.mean()
    return float(np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / np.sum(market_dev ** 2))

rng = np.random.default_rng(4)
market = rng.normal(0, 0.01, size=100)
print(round(beta(2.5 * market, market), 4))               # 2.5   an asset that moves 2.5x the market
print(round(beta(market + 0.01, market), 4))              # 1.0   adding a constant changes nothing
print(round(beta(-market, market), 4))                    # -1.0  a perfect hedge

資本資産価格モデル

CAPMはこれをリスクの価格に変えます。投資家は市場リスクを負うことに対してだけ報われるので、資産の期待リターンは無リスク金利にベータ×市場リスクプレミアム（市場リターンから無リスク金利を引いたもの）を足したもの、E[R] = rf + beta * (E[R_m] - rf) です。ベータ0なら無リスク金利、ベータ1なら市場リターン、ベータ2なら無リスク金利にプレミアムの2倍を足したものを稼ぎます。

def capm_expected_return(rf, beta_value, market_return):
    return rf + beta_value * (market_return - rf)

rf, market_return = 0.01, 0.06
for b in (0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0):
    print(b, round(capm_expected_return(rf, b, market_return), 4))     # 0.01, 0.035, 0.06, 0.085, 0.11

アルファ：残るもの

CAPMが正しければ、資産はベータが正当化するリターンをちょうど稼ぎます。実際の稼ぎとCAPMの予想との差がジェンセンのアルファで、mean(asset) - (rf + beta * (mean(market) - rf)) です。アルファが正なら市場リスクで説明できる以上の成績を出したことになり、アクティブ運用者が売るのはこれで、最も見つけにくいものです。市場で説明できない値動きの部分は残差リスクで、回帰残差の標準偏差で測り、分散して消すことができます。

# Alpha and residual risk of an asset with a little skill in it
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2)
market = rng.normal(0.0004, 0.01, size=500)
asset = 0.0003 + 1.2 * market + rng.normal(0, 0.005, size=500)       # true alpha 3 bps a day, beta 1.2, residual 0.5%
rf = 0.0001

market_dev = market - market.mean()
b = np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / np.sum(market_dev ** 2)
alpha = asset.mean() - (rf + b * (market.mean() - rf))
a = asset.mean() - b * market.mean()
residual = asset - (a + b * market)
print(round(float(b), 3), round(float(alpha), 5), round(float(np.sqrt(np.sum(residual ** 2) / (len(asset) - 2))), 4))

• ベータ＝covariance(asset, market) / variance(market)、市場に対する傾き。分散できないリスクの部分
• CAPM：rf + beta * (market - rf)。ジェンセンのアルファは平均リターンからそれを引いたもの、市場リスクを超える腕（または運）
• 残差リスクは asset - (a + b * market) の標準偏差（n - 2 で割る）。分散できる。ベータ自体もノイズが大きい

次はマルチファクターモデル（ファーマ＝フレンチ）です。市場以外の要因でもリターンを説明します。

ラボ：採点される内容

• beta で市場への感応度を測る25点
• capm_expected_return でリスクを値付けする25点
• jensen_alpha で、あれば運用の腕を見つける25点
• residual_vol で残りのリスクを測る25点