多因子模型：Fama-French

不止一个波动的理由

CAPM 只有一个因子，即市场。1992 年法玛和弗伦奇表明，另外两个因子能解释股票收益差异的大部分：规模（小公司比大公司赚得多，因子 SMB，小减大）和价值（按账面市值比衡量的便宜股票比贵的赚得多，因子 HML，高减低）。后来的模型又加入了动量、盈利能力和投资。每个因子本身就是一条收益序列，资产对它的载荷表示它与这条序列联动得有多强。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
n = 250
market = rng.normal(0.0004, 0.010, size=n)               # excess returns of three factors
smb = rng.normal(0.0001, 0.005, size=n)
hml = rng.normal(0.0001, 0.005, size=n)
factors = np.column_stack([market, smb, hml])             # shape (n, k) = (250, 3)

asset = 0.0002 + factors @ np.array([1.1, 0.5, -0.3]) + rng.normal(0, 0.004, size=n)
X = np.column_stack([np.ones(n), factors])                # design matrix: a column of ones for alpha
print(X.shape)                                            # (250, 4)

# The design matrix of three days and two factors
import numpy as np

factors = np.array([[0.010, -0.002], [-0.004, 0.001], [0.006, 0.003]])
X = np.column_stack([np.ones(len(factors)), factors])
print(X)                                           # a column of ones, then market and SMB

矩阵形式的最小二乘

有多个因子时，回归是 asset = alpha + b1 * f1 + ... + bk * fk + 误差。把各因子与一列 1 并排放进矩阵 X，最小二乘系数就是正规方程 (X'X) c = X'y 的解。在 NumPy 中是 np.linalg.solve(X.T @ X, X.T @ y)。它与前面的单资产回归是同一套机制，只是未知数变成了 k + 1 个。第一个系数是阿尔法，其余是各因子的载荷。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
n = 250
factors = np.column_stack([rng.normal(0.0004, 0.010, size=n), rng.normal(0.0001, 0.005, size=n), rng.normal(0.0001, 0.005, size=n)])
asset = 0.0002 + factors @ np.array([1.1, 0.5, -0.3]) + rng.normal(0, 0.004, size=n)

X = np.column_stack([np.ones(n), factors])
coef = np.linalg.solve(X.T @ X, X.T @ asset)
print(np.round(coef, 4))                                   # [alpha, market, SMB, HML]: the loadings come out near [1.1, 0.5, -0.3]

residual = asset - X @ coef
r2 = 1 - np.sum(residual ** 2) / np.sum((asset - asset.mean()) ** 2)
print(round(float(r2), 4))

因子能解释多少？

R 平方回答了这个问题：因子解释了资产波动的多大比例，即 1 - SSres / SStot，介于 0（毫无解释）和 1（完全解释）之间。一个分散化的股票组合对 Fama–French 因子的 R 平方常常超过 0.9：它的风险几乎全是因子风险。单只股票的更低，剩下的残差波动属于公司特有。样本内增加一个因子绝不会降低 R 平方，所以数值更高本身并不能证明某个因子重要。

# What the model implies: the expected return from the loadings and the factor premia
import numpy as np

betas = np.array([1.1, 0.5, -0.3])             # market, SMB, HML loadings
premia = np.array([0.0006, 0.0002, 0.0002])    # expected daily factor returns
rf = 0.0001

expected = rf + np.sum(betas * premia)
print(round(float(expected), 6))               # 0.0008 per day, about 20% a year on 250 days

• 因子模型把超额收益对多个因子回归：X = [全 1 列 | 因子]，系数为 [alpha, beta_1..beta_k]。
• 解正规方程 np.linalg.solve(X.T @ X, X.T @ y)；R 平方为 1 - SSres / SStot，增加因子时不会下降。
• 模型隐含 rf + sum(betas * premia)；载荷和溢价都是估计值，因子溢价可能消失。

下一节：信息系数，度量一个信号是否真的能预测收益。

实验：评分内容

• 用 design_matrix 搭建回归25 分
• 用 fit_factor_model 估计因子载荷25 分
• 用 r_squared 评价拟合优度25 分
• 用 factor_expected_return 给因子暴露定价25 分