الانحدار الخطي (OLS)

تفسير عائد بعائد آخر

نادرًا ما يتحرك السهم وحده: حين يرتفع السوق يرتفع عادةً معه. يُقدِّر الانحدار الخطي هذه الصلة بملاءمة خط مستقيم y = alpha + beta * x عبر أزواج العوائد (x: السوق وy: السهم). وتختار المربعات الصغرى العادية (OLS) الخط الذي يجعل مجموع مربعات الفجوات الرأسية، أي البواقي، أصغر ما يمكن. وللنتيجة صيغة مغلقة: الميل beta هو التغاير بين x وy مقسومًا على تباين x، ويجعل الحد الثابت alpha الخط يمر بنقطة المتوسطات.

beta = sum((x - mean_x) * (y - mean_y)) / sum((x - mean_x)^2) alpha = mean_y - beta * mean_x

import numpy as np

market = np.array([0.010, -0.005, 0.004, 0.012, -0.008, 0.003, -0.002, 0.007, 0.001, -0.004])
asset  = np.array([0.013, -0.004, 0.007, 0.016, -0.011, 0.004, -0.001, 0.011, 0.002, -0.007])

dx = market - market.mean()                      # deviations of x from its mean
beta = (dx * (asset - asset.mean())).sum() / (dx ** 2).sum()
alpha = asset.mean() - beta * market.mean()
print(round(beta, 4), round(alpha, 5))           # 1.3271 0.00061   the asset moves 1.33 times as much as the market

البواقي وR التربيعي

الباقي هو ما يعجز الخط عن تفسيره في ملاحظة واحدة: y - (alpha + beta * x). وبواقي OLS تجمع دائمًا إلى الصفر وغير مرتبطة بـ x، وهذا فحص مفيد لشيفرتك. ويبيّن R التربيعي أي جزء من تباين y يفسّره الخط: 1 - sum(البواقي²) / sum((y - mean_y)²). يمتد من 0 (الخط لا يتفوق على المتوسط) إلى 1 (كل النقاط على الخط)، وفي الانحدار البسيط يساوي مربع الارتباط بين x وy.

residuals = asset - (alpha + beta * market)
print(abs(residuals.sum()) < 1e-12, abs((residuals * market).sum()) < 1e-12)   # True True   the OLS fingerprints

ss_res = (residuals ** 2).sum()
ss_tot = ((asset - asset.mean()) ** 2).sum()
print(round(1 - ss_res / ss_tot, 4))                  # 0.9785
print(round(np.corrcoef(market, asset)[0, 1] ** 2, 4))   # 0.9785   the squared correlation

CAPM: بيتا وألفا

في التمويل لهذا الانحدار اسم. بيتا هي الحساسية للسوق: بيتا 1.3 تعني أن السهم يميل إلى التحرك 30% أكثر من السوق صعودًا وهبوطًا. وألفا هو متوسط العائد المتبقي بعد احتساب هذا التعرّض للسوق، وهو ما يدّعيه المدير مهارة. ولإبعاد معدل الخالي من المخاطر يستخدم انحدار CAPM العوائد الزائدة: العائد ناقص معدل الخالي من المخاطر، للأصل وللسوق معًا. واستراتيجية ألفا فيها قريبة من الصفر ليست سوى تعرّض للسوق متنكّر.

risk_free = 0.0001                                 # risk-free return of one day
x = market - risk_free                             # excess returns of the market
y = asset - risk_free                              # excess returns of the asset

beta = ((x - x.mean()) * (y - y.mean())).sum() / ((x - x.mean()) ** 2).sum()
alpha = y.mean() - beta * x.mean()
print(round(beta, 4), round(alpha, 6))             # 1.3271 0.000644   a daily alpha of 0.064%, on 10 days of data

# Points exactly on y = 1 + 2x: the fit recovers the line
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0])
y = 1 + 2 * x
dx = x - x.mean()
slope = (dx * (y - y.mean())).sum() / (dx ** 2).sum()
print(y.mean() - slope * x.mean(), slope)      # 1.0 2.0

الخط ليس سببًايصف الانحدار كيف تحركت سلسلتان معًا في العيّنة؛ ولا يثبت أن إحداهما تسوق الأخرى، وأرقامه تقديرات لها ريبتها. مع 10 أيام تكون بيتا تقريبية ويضيع ألفا في الضجيج. وتتغير بيتا أيضًا مع الزمن ونظام السوق، فأعد تقديرها على نافذة متحركة بدل الوثوق برقم واحد إلى الأبد.

تُصغّر OLS مربعات البواقي: beta = cov(x, y) / var(x) (مجاميع حواصل مركزة) وalpha = mean_y - beta * mean_x.
البواقي y - (alpha + beta * x) تجمع إلى صفر؛ وR التربيعي 1 - ss_res / ss_tot هو حصة التباين المفسَّرة.
CAPM: انحدر العوائد الزائدة للأصل على العوائد الزائدة للسوق؛ بيتا هي التعرّض للسوق وألفا ما تبقى.

التالي: التقلب، قياس مقدار تذبذب العوائد والتنبؤ به.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

ارسم الخط الأنسب عبر النقاط باستخدام ols_fit25 نقطة
قِس ما يفوت الخط باستخدام residuals25 نقطة
قيّم جودة الملاءمة باستخدام r_squared25 نقطة
افصل الأصل إلى تعرّض للسوق ومهارة باستخدام capm_alpha_beta25 نقطة

import numpy as np market = np.array([0.010, -0.005, 0.004, 0.012, -0.008, 0.003, -0.002, 0.007, 0.001, -0.004]) asset = np.array([0.013, -0.004, 0.007, 0.016, -0.011, 0.004, -0.001, 0.011, 0.002, -0.007]) dx = market - market.mean() # deviations of x from its mean beta = (dx * (asset - asset.mean())).sum() / (dx ** 2).sum() alpha = asset.mean() - beta * market.mean() print(round(beta, 4), round(alpha, 5)) # 1.3271 0.00061 the asset moves 1.33 times as much as the market

residuals = asset - (alpha + beta * market) print(abs(residuals.sum()) < 1e-12, abs((residuals * market).sum()) < 1e-12) # True True the OLS fingerprints ss_res = (residuals ** 2).sum() ss_tot = ((asset - asset.mean()) ** 2).sum() print(round(1 - ss_res / ss_tot, 4)) # 0.9785 print(round(np.corrcoef(market, asset)[0, 1] ** 2, 4)) # 0.9785 the squared correlation

risk_free = 0.0001 # risk-free return of one day x = market - risk_free # excess returns of the market y = asset - risk_free # excess returns of the asset beta = ((x - x.mean()) * (y - y.mean())).sum() / ((x - x.mean()) ** 2).sum() alpha = y.mean() - beta * x.mean() print(round(beta, 4), round(alpha, 6)) # 1.3271 0.000644 a daily alpha of 0.064%, on 10 days of data

# Points exactly on y = 1 + 2x: the fit recovers the line x = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0]) y = 1 + 2 * x dx = x - x.mean() slope = (dx * (y - y.mean())).sum() / (dx ** 2).sum() print(y.mean() - slope * x.mean(), slope) # 1.0 2.0

الانحدار الخطي (OLS)

تفسير عائد بعائد آخر

البواقي وR التربيعي

CAPM: بيتا وألفا

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

الانحدار الخطي (OLS)

تفسير عائد بعائد آخر

البواقي وR التربيعي

CAPM: بيتا وألفا

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.