信頼水準付きの損失限度
バリュー・アット・リスクは、最悪ではない悪い日にいくら失うかに答えます。1日・信頼水準95%のVaRが2%なら、100日のうち95日は損失が2%を超えないはずです。ヒストリカル法はモデルを必要としません。過去のリターンを並べ替えて5パーセンタイルの損失を読み取り、VaRはその分位点にマイナスを付けたものです。運用者が限度額と比べられる1つの数なので、規制やリスク限度で広く使われます。
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3)
returns = rng.normal(0.0004, 0.012, size=500) # two years of daily returns
var_95 = -np.quantile(returns, 0.05) # minus the 5th percentile
var_99 = -np.quantile(returns, 0.01)
print(round(float(var_95), 5), round(float(var_99), 5)) # 0.01928 0.027 the 99% loss limit is largerVaRの検証：超過日
VaRは予測なので検証できます。超過日とは、損失がVaRを上回った日、つまり return < -VaR となる日です。95%のVaRなら超過日は全体の約5%になるはずで、それよりずっと多ければモデルがリスクを過小評価し、ずっと少なければ慎重すぎます。規制当局が250日の超過日数を数えるのはこのためです。不等号が厳密である点に注意してください。VaRと等しい損失は超過ではありません。
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3)
returns = rng.normal(0.0004, 0.012, size=500)
var_95 = -np.quantile(returns, 0.05)
exceptions = int(np.sum(returns < -var_95))
print(exceptions, "exceptions in", len(returns), "days; expected about", int(0.05 * len(returns))) # 25 25より長い期間と、当時の再現
10日VaRが求められることもよくあります。日次リターンが独立なら、ボラティリティは時間の平方根で増えるので、平方根ルールで換算します：VaR_T = VaR_1 * sqrt(T)。これは近似で、ファットテールや自己相関のあるリターンでは精度が落ちます。誠実なバックテストは時間も守ります。t 日に使うVaRは t 日より前のリターンだけから作らねばならず、先読みを避ける規律と同じです。ローリングVaRは直近 n 日の窓でそれを行います。
# The square-root-of-time rule for several horizons
import math
one_day = 0.0186
for days in (1, 5, 10, 20):
print(days, round(one_day * math.sqrt(days), 4)) # 1: 0.0186, 5: 0.0416, 10: 0.0588, 20: 0.0832import numpy as np
def historical_var(returns, confidence):
return float(-np.quantile(returns, 1 - confidence))
def rolling_var(returns, window, confidence):
out = np.full(len(returns), np.nan)
for t in range(window, len(returns)):
out[t] = historical_var(returns[t - window:t], confidence) # the days BEFORE day t
return out
rng = np.random.default_rng(3)
returns = rng.normal(0.0004, 0.012, size=500)
rolling = rolling_var(returns, 250, 0.99)
print(np.isnan(rolling[:250]).all(), round(float(rolling[250]), 5), round(float(rolling[-1]), 5))
exceptions = int(np.sum(returns[250:] < -rolling[250:]))
print(exceptions, "exceptions in", len(returns) - 250, "days (about 2 expected at 99%)")
print(round(historical_var(returns, 0.99) * np.sqrt(10), 5)) # a 10-day figure by the square-root ruleVaRが教えてくれないことVaRは最悪のケースではなく閾値です。それを超える損失がどれほど悪いかは何も語らないため、次のトピックで期待ショートフォールとストレステストを扱います。ヒストリカル法は窓の質で決まり、平穏な2年間は危機の直前に小さなVaRを出し、99%の数字はわずかな観測にしか基づきません。
- ヒストリカルVaRは過去リターンの
(1 - confidence)分位点にマイナスを付けたもの（np.quantile）。モデル不要の正の損失率 - 超過日（
return < -VaR）を数えて検証する。全体の約1 - confidenceが目安で、それより多ければVaRが低すぎる var * sqrt(days)で期間を換算する。ローリング窓は過去の日だけを使う。VaRは閾値であり、それを超える損失の大きさは示さない
次はパラメトリックVaRです。生の履歴ではなく正規分布から同じ閾値を計算します。
ラボ：採点される内容
historical_varで過去データから損失額を読む25点var_exceptionsで超過日数を数える25点scale_varで保有期間を延ばす25点rolling_varで当時の推定値を再現する25点