釣鐘型曲線の約束
多くのリスクモデルは、平均と標準偏差だけですべて計算できるため、リターンが正規分布に従うと仮定します。正規分布は極端な値について非常に明確です。平均からk標準偏差より遠く（どちら向きでも）にある確率は erfc(k / sqrt(2)) で、1で31.7%、2で4.55%、3で0.27%、4で0.0063%です。すると4シグマの日は約15,800営業日に1回、およそ63年に1回、5シグマの日は数千年に1回しか起きないことになります。
import math
import numpy as np
for k in (1, 2, 3, 4, 5):
probability = math.erfc(k / math.sqrt(2)) # P(|Z| > k) for a normal variable
print(k, f"{probability:.2e}")
# 1 3.17e-01
# 2 4.55e-02
# 3 2.70e-03
# 4 6.33e-05
# 5 5.73e-07
print(round(1 / math.erfc(4 / math.sqrt(2)))) # 15787 trading days between 4-sigma days, if returns were normal
print(round(1 / math.erfc(5 / math.sqrt(2)) / 252)) # 6922 years between 5-sigma days市場には裾の厚さがある
実際の市場では、1987年、2008年、2020年のように、4シグマや5シグマの日が一生のうちに何度も起きます。リターンの分布にはファットテールがあり、釣鐘型が許すより極端な日が多く、中央は高く細くなります。簡単に確かめる方法がテールレシオで、k 標準偏差を超えるリターンの観測割合を、正規分布が与える割合で割ったものです。1に近ければ正規並みの裾、5なら極端な日が5倍多いことを意味し、日次データの k = 4 では数百になることもあります。正規性を仮定するリスクモデルは、最も重要な日をまさに過小評価します。
returns = np.array([0.010, 0.012, 0.008, 0.011, 0.009, 0.010, 0.012, -0.060, 0.010, 0.009])
def tail_ratio(x, k):
observed = np.mean(np.abs(x - x.mean()) > k * x.std(ddof=1)) # share beyond k standard deviations
return observed / math.erfc(k / math.sqrt(2)) # divided by what a normal would give
print(round(float(tail_ratio(returns, 2)), 2)) # 2.2 the one crash is 2.2 times too frequent at 2 sigma (a tiny sample, though)ジャーク・ベラ検定
形式的な検定は、標本が正規分布から得られたと考えて不自然でないかを問います。ジャーク・ベラ統計量は前のトピックの2つの形状指標を組み合わせます：JB = n / 6 * (S² + K² / 4)（S は歪度、K は超過尖度）。正規な標本ではどちらも0に近く、JBは小さくなります。正規性の下でJBは自由度2のカイ二乗分布に従い、その裾は閉じた式 exp(-JB / 2) で、これがp値です。0.05を下回れば正規性を棄却します。臨界値は JB = 5.99 です。暴落を1回含む10日間の標本では JB = 22.4、p値は0.00001になります。
x = returns
n = len(x)
deviations = x - x.mean()
m2, m3, m4 = (np.mean(deviations ** k) for k in (2, 3, 4))
skew, kurt = m3 / m2 ** 1.5, m4 / m2 ** 2 - 3
jb = n / 6 * (skew ** 2 + kurt ** 2 / 4)
p_value = math.exp(-jb / 2)
print(round(float(jb), 2), p_value < 0.05) # 22.37 True normality rejected
print(f"{p_value:.1e}") # 1.4e-05# The p-value falls fast as the statistic grows: 5.99 is the 5% critical value
for jb in (0, 2, 5.99, 10, 22.37):
print(jb, round(math.exp(-jb / 2), 5))
# 0 1.0
# 2 0.36788
# 5.99 0.05004
# 10 0.00674
# 22.37 1e-05- 正規変数が k 標準偏差より遠くにある確率は
erfc(k / sqrt(2))。2で4.55%、4で0.0063% - テールレシオ（観測割合 ÷ 正規の割合）が裾の厚さを示す。市場は4シグマで1を大きく上回る
- ジャーク・ベラ：
n / 6 * (S**2 + K**2 / 4)。p値はexp(-JB / 2)で、0.05未満なら正規性を棄却（JBが5.99超）
次は仮説検定：t検定です。平均リターンが本当にゼロと違うかどうかを判断します。
ラボ：採点される内容
jarque_beraで標本が正規分布からどれだけ外れているかを測る25点normality_p_valueで検定統計量を p 値に変換する25点normal_tail_probabilityで釣鐘型が予測する確率を計算する25点tail_ratioで裾がどれだけ厚いかを数える25点