歪度と尖度

平均と分散のその先

平均もボラティリティも同じ2つのリターン系列が、保有してみるとまったく違うことがあります。一方はゆっくり上昇し、ときどき1日で6%下がります。もう一方は対称で穏やかです。平均と分散は分布の最初の2つのモーメントです。k次中心モーメントは (x - mean) ** k の平均です。3次と4次が形を表し、歪度はどちらの裾が長いか、尖度は裾がどれだけ厚いかを示します。

import numpy as np

def central_moment(x, k):
    return float(np.mean((x - x.mean()) ** k))

# Calm days of about +1%, and one crash of -6%
returns = np.array([0.010, 0.012, 0.008, 0.011, 0.009, 0.010, 0.012, -0.060, 0.010, 0.009])

print(round(central_moment(returns, 2), 8))     # 0.00044389   the variance with ddof=0
print(round(central_moment(returns, 3), 10))    # -2.47823e-05   odd powers keep the sign: the crash dominates
print(round(central_moment(returns, 4), 12))    # 1.587946e-06   even powers are always positive

歪度：どちらの裾が長いか

3乗は各偏差の符号を保ち、大きな偏差を大きく効かせるので、3次モーメントは最も極端な値に支配されます。m2 ** 1.5 で割ると単位が消え、歪度になります。対称な分布では0、長い裾が左にある（まれな大損失）と負、右にある（まれな大利益）と正です。株価指数は通常、歪度が負です。ゆっくり上がり、急に下がるからです。正規分布の10万個の標本の歪度はおよそ0です。

m2 = central_moment(returns, 2)
m3 = central_moment(returns, 3)
print(round(m3 / m2 ** 1.5, 3))     # -2.65   strongly negative: one big loss among calm gains

mirror = -returns                    # flip every return: the long tail moves to the right
print(round(central_moment(mirror, 3) / central_moment(mirror, 2) ** 1.5, 3))   # 2.65

尖度：裾の厚さ

4乗は極端な値を非常に大きく効かせるので、m4 / m2 ** 2 は裾が厚いほど大きくなります。正規分布では3になるため、超過尖度 m4 / m2 ** 2 - 3 を使います。正規分布で0、裾が厚いと正（極端な日が釣鐘の予想より頻繁に起きる）、裾が薄いと負（最も薄い、同じ高さの2つの山では -2）です。ほとんどの資産の日次リターンは超過尖度がはっきり正で、5以上になることもあります。どちらの統計量もリターンの尺度変更や平行移動では変わらず、形だけを表します。

m4 = central_moment(returns, 4)
print(round(m4 / m2 ** 2 - 3, 3))   # 5.059   fat tails: one crash dominates the fourth moment

calm = np.array([-0.02, -0.01, -0.005, 0.0, 0.005, 0.01, 0.02, -0.015, 0.015, 0.0])
c2, c3, c4 = (central_moment(calm, k) for k in (2, 3, 4))
print(round(c3 / c2 ** 1.5, 3), round(c4 / c2 ** 2 - 3, 3))   # 0.0 -1.033   symmetric, slightly thin tails

# Shape does not depend on scale or shift: multiply the returns by 3 and add 1
rescaled = returns * 3 + 1
print(round(central_moment(rescaled, 3) / central_moment(rescaled, 2) ** 1.5, 3))   # -2.65
print(round(central_moment(rescaled, 4) / central_moment(rescaled, 2) ** 2 - 3, 3))  # 5.059   the same two numbers

• k次中心モーメントは mean((x - mean) ** k)。2・3・4次が分散・歪度・尖度を与える
• 歪度 m3 / m2 ** 1.5：負は左の裾が長い（まれな大損失）。超過尖度 m4 / m2 ** 2 - 3 は正規分布で0
• 超過尖度が正なら裾が厚い。どちらも少数の極端な日に左右されるので、多くのデータが要る

次はファットテールと正規性検定です。リターンが釣鐘型に従うかを形式的に調べます。

ラボ：採点される内容

• central_moment で基本の部品を計算する25点
• skewness でどちらの裾が長いかを測る25点
• excess_kurtosis で裾の厚さを測る25点
• shape_label で分布の形に名前を付ける25点