الالتواء والتفرطح

ما وراء المتوسط والتباين

قد يكون لسلسلتي عوائد المتوسط والتقلب نفساهما ويختلف احتفاظك بهما اختلافًا كبيرًا. إحداهما ترتفع ببطء وتهبط 6% في يوم بين حين وآخر، والأخرى متماثلة وهادئة. المتوسط والتباين هما أول عزمين لتوزيع. والعزم المركزي من الرتبة k هو متوسط (x - mean) ** k. ويصف العزمان 3 و4 الشكل: يبيّن الالتواء أي الطرفين أطول، ويبيّن التفرطح مدى ثقل الأطراف.

m_k = mean((x - mean)^k) skewness = m3 / m2^1.5 excess kurtosis = m4 / m2^2 - 3

import numpy as np

def central_moment(x, k):
    return float(np.mean((x - x.mean()) ** k))

# Calm days of about +1%, and one crash of -6%
returns = np.array([0.010, 0.012, 0.008, 0.011, 0.009, 0.010, 0.012, -0.060, 0.010, 0.009])

print(round(central_moment(returns, 2), 8))     # 0.00044389   the variance with ddof=0
print(round(central_moment(returns, 3), 10))    # -2.47823e-05   odd powers keep the sign: the crash dominates
print(round(central_moment(returns, 4), 12))    # 1.587946e-06   even powers are always positive

الالتواء: أي الطرفين أطول

يحتفظ التكعيب بإشارة كل انحراف ويجعل الكبيرة منها أثقل بكثير، فيهيمن على العزم الثالث أشد القيم تطرفًا. والقسمة على m2 ** 1.5 تزيل الوحدات وتعطي الالتواء: 0 للتوزيع المتماثل، وسالب حين يكون الطرف الطويل على اليسار (خسائر كبيرة نادرة)، وموجب حين يكون على اليمين (مكاسب كبيرة نادرة). وتميل مؤشرات الأسهم إلى التواء سالب: صعود بطيء وهبوط مفاجئ. والتواء عيّنة من 100000 قيمة طبيعية نحو 0.

m2 = central_moment(returns, 2)
m3 = central_moment(returns, 3)
print(round(m3 / m2 ** 1.5, 3))     # -2.65   strongly negative: one big loss among calm gains

mirror = -returns                    # flip every return: the long tail moves to the right
print(round(central_moment(mirror, 3) / central_moment(mirror, 2) ** 1.5, 3))   # 2.65

التفرطح: ثقل الأطراف

الأس الرابع يجعل القيم المتطرفة ثقيلة جدًا، فينمو m4 / m2 ** 2 مع الأطراف. وهو يساوي 3 للتوزيع الطبيعي، ولهذا نذكر التفرطح الزائد m4 / m2 ** 2 - 3: يساوي 0 للطبيعي، وموجب للأطراف الثقيلة (تقع الأيام المتطرفة أكثر مما يتوقع الجرس)، وسالب للأطراف الرقيقة (أرقّ ما يمكن، ذروتان متساويتان، يعطي -2). وللعوائد اليومية لمعظم الأصول تفرطح زائد موجب بوضوح، غالبًا 5 أو أكثر. ولا يتغير الإحصاءان عند إعادة قياس العوائد أو إزاحتها، فهما يصفان الشكل فقط.

m4 = central_moment(returns, 4)
print(round(m4 / m2 ** 2 - 3, 3))   # 5.059   fat tails: one crash dominates the fourth moment

calm = np.array([-0.02, -0.01, -0.005, 0.0, 0.005, 0.01, 0.02, -0.015, 0.015, 0.0])
c2, c3, c4 = (central_moment(calm, k) for k in (2, 3, 4))
print(round(c3 / c2 ** 1.5, 3), round(c4 / c2 ** 2 - 3, 3))   # 0.0 -1.033   symmetric, slightly thin tails

# Shape does not depend on scale or shift: multiply the returns by 3 and add 1
rescaled = returns * 3 + 1
print(round(central_moment(rescaled, 3) / central_moment(rescaled, 2) ** 1.5, 3))   # -2.65
print(round(central_moment(rescaled, 4) / central_moment(rescaled, 2) ** 2 - 3, 3))  # 5.059   the same two numbers

انهيار واحد قد يغيّر كل شيءيحكم الالتواء والتفرطح القليل من أشد القيم تطرفًا، فهما أقل ثباتًا بكثير من المتوسط أو التقلب: أضف يومًا أو احذفه فيقفزان. احسبهما على بيانات كافية (مئات الأيام على الأقل) وانظر إلى المدرّج أيضًا قبل أن تثق برقم.

العزم المركزي من الرتبة k هو mean((x - mean) ** k): تعطي العزوم 2 و3 و4 التباين والالتواء والتفرطح.
الالتواء m3 / m2 ** 1.5: السالب يعني طرفًا أيسر طويلًا (خسائر كبيرة نادرة)؛ والتفرطح الزائد m4 / m2 ** 2 - 3 يساوي 0 للطبيعي.
التفرطح الزائد الموجب يعني أطرافًا ثقيلة؛ والإحصاءان يحكمهما بضعة أيام متطرفة فيحتاجان إلى بيانات كثيرة.

التالي: الأطراف الثقيلة واختبارات الطبيعية، للتحقق رسميًا من أن العوائد تتبع منحنى الجرس.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

احسب اللبنة الأساسية باستخدام central_moment25 نقطة
قِس أي الطرفين أطول باستخدام skewness25 نقطة
قِس ثقل الأطراف باستخدام excess_kurtosis25 نقطة
سمِّ الشكل باستخدام shape_label25 نقطة

import numpy as np def central_moment(x, k): return float(np.mean((x - x.mean()) ** k)) # Calm days of about +1%, and one crash of -6% returns = np.array([0.010, 0.012, 0.008, 0.011, 0.009, 0.010, 0.012, -0.060, 0.010, 0.009]) print(round(central_moment(returns, 2), 8)) # 0.00044389 the variance with ddof=0 print(round(central_moment(returns, 3), 10)) # -2.47823e-05 odd powers keep the sign: the crash dominates print(round(central_moment(returns, 4), 12)) # 1.587946e-06 even powers are always positive

m2 = central_moment(returns, 2) m3 = central_moment(returns, 3) print(round(m3 / m2 ** 1.5, 3)) # -2.65 strongly negative: one big loss among calm gains mirror = -returns # flip every return: the long tail moves to the right print(round(central_moment(mirror, 3) / central_moment(mirror, 2) ** 1.5, 3)) # 2.65

m4 = central_moment(returns, 4) print(round(m4 / m2 ** 2 - 3, 3)) # 5.059 fat tails: one crash dominates the fourth moment calm = np.array([-0.02, -0.01, -0.005, 0.0, 0.005, 0.01, 0.02, -0.015, 0.015, 0.0]) c2, c3, c4 = (central_moment(calm, k) for k in (2, 3, 4)) print(round(c3 / c2 ** 1.5, 3), round(c4 / c2 ** 2 - 3, 3)) # 0.0 -1.033 symmetric, slightly thin tails

# Shape does not depend on scale or shift: multiply the returns by 3 and add 1 rescaled = returns * 3 + 1 print(round(central_moment(rescaled, 3) / central_moment(rescaled, 2) ** 1.5, 3)) # -2.65 print(round(central_moment(rescaled, 4) / central_moment(rescaled, 2) ** 2 - 3, 3)) # 5.059 the same two numbers

الالتواء والتفرطح

ما وراء المتوسط والتباين

الالتواء: أي الطرفين أطول

التفرطح: ثقل الأطراف

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

الالتواء والتفرطح

ما وراء المتوسط والتباين

الالتواء: أي الطرفين أطول

التفرطح: ثقل الأطراف

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.