Além da média e da variância
Duas séries de retornos podem ter a mesma média e a mesma volatilidade e ainda assim ser muito diferentes de manter. Uma sobe devagar e de vez em quando cai 6% num dia; a outra é simétrica e calma. A média e a variância são os dois primeiros momentos de uma distribuição. O momento central de ordem k é a média de (x - mean) ** k. Os momentos 3 e 4 descrevem a forma: a assimetria diz qual cauda é mais longa, a curtose o quanto as caudas são pesadas.
import numpy as np
def central_moment(x, k):
return float(np.mean((x - x.mean()) ** k))
# Calm days of about +1%, and one crash of -6%
returns = np.array([0.010, 0.012, 0.008, 0.011, 0.009, 0.010, 0.012, -0.060, 0.010, 0.009])
print(round(central_moment(returns, 2), 8)) # 0.00044389 the variance with ddof=0
print(round(central_moment(returns, 3), 10)) # -2.47823e-05 odd powers keep the sign: the crash dominates
print(round(central_moment(returns, 4), 12)) # 1.587946e-06 even powers are always positiveAssimetria: qual cauda é mais longa
Elevar ao cubo mantém o sinal de cada desvio e faz os grandes pesarem muito mais, então o terceiro momento é dominado pelos valores mais extremos. Dividir por m2 ** 1.5 remove as unidades e dá a assimetria: 0 para uma distribuição simétrica, negativa quando a cauda longa está à esquerda (grandes perdas raras), positiva quando está à direita (grandes ganhos raros). Índices de ações costumam ter assimetria negativa: altas lentas, quedas súbitas. A assimetria de uma amostra de 100 000 valores normais é cerca de 0.
m2 = central_moment(returns, 2)
m3 = central_moment(returns, 3)
print(round(m3 / m2 ** 1.5, 3)) # -2.65 strongly negative: one big loss among calm gains
mirror = -returns # flip every return: the long tail moves to the right
print(round(central_moment(mirror, 3) / central_moment(mirror, 2) ** 1.5, 3)) # 2.65Curtose: o peso das caudas
A quarta potência faz os valores extremos pesarem enormemente, então m4 / m2 ** 2 cresce com as caudas. Para uma normal vale 3, por isso se cita a curtose em excesso, m4 / m2 ** 2 - 3: é 0 para uma normal, positiva para caudas pesadas (dias extremos ocorrem mais do que o sino prevê) e negativa para caudas finas (o mais fino possível, dois picos iguais, dá -2). Os retornos diários da maioria dos ativos têm curtose em excesso claramente positiva, muitas vezes 5 ou mais. As duas estatísticas não mudam ao reescalar ou deslocar os retornos, então descrevem só a forma.
m4 = central_moment(returns, 4)
print(round(m4 / m2 ** 2 - 3, 3)) # 5.059 fat tails: one crash dominates the fourth moment
calm = np.array([-0.02, -0.01, -0.005, 0.0, 0.005, 0.01, 0.02, -0.015, 0.015, 0.0])
c2, c3, c4 = (central_moment(calm, k) for k in (2, 3, 4))
print(round(c3 / c2 ** 1.5, 3), round(c4 / c2 ** 2 - 3, 3)) # 0.0 -1.033 symmetric, slightly thin tails# Shape does not depend on scale or shift: multiply the returns by 3 and add 1
rescaled = returns * 3 + 1
print(round(central_moment(rescaled, 3) / central_moment(rescaled, 2) ** 1.5, 3)) # -2.65
print(round(central_moment(rescaled, 4) / central_moment(rescaled, 2) ** 2 - 3, 3)) # 5.059 the same two numbers- O momento central de ordem k é
mean((x - mean) ** k): os momentos 2, 3 e 4 dão variância, assimetria e curtose. - Assimetria
m3 / m2 ** 1.5: negativa = cauda longa à esquerda (grandes perdas raras); curtose em excessom4 / m2 ** 2 - 3vale 0 para uma normal. - Curtose em excesso positiva significa caudas pesadas; as duas estatísticas dependem de poucos dias extremos, então precisam de muitos dados.
A seguir: caudas pesadas e testes de normalidade, para verificar formalmente se os retornos seguem a curva em sino.
Lab: o que é avaliado
- Calcular o bloco básico com
central_moment25 pts - Medir qual cauda é mais longa com
skewness25 pts - Medir o quanto as caudas são pesadas com
excess_kurtosis25 pts - Dar um nome à forma com
shape_label25 pts