期待ショートフォール

VaRが言わないこと

信頼水準99%のVaRが3%なら、100日のうち99日は損失が3%未満です。100日目については何も言わず、3.1%かもしれず30%かもしれません。期待ショートフォール（ES、CVaR）がこの穴を埋めます。VaRを超えた日の平均損失なので、裾の形を表します。平均を取るため滑らかに変化し、VaRと違って常に分散を評価します。バーゼルが市場リスクの指標をVaRからESへ移したのはそのためです。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(5)
returns = rng.standard_t(4, size=1000) * 0.01

cutoff = np.quantile(returns, 0.05)                   # the 95% VaR is minus this
tail = np.sort(returns[returns <= cutoff])            # the worst 5% of the days, lowest first
print(len(tail), round(float(-cutoff), 5))            # 50 days; the VaR
print(np.round(tail[:4], 4))                          # the four worst days

裾を平均する

ヒストリカル法では、ESは単純です。VaRの閾値以下のリターンを選んで平均し、符号を反転します。裾のどのリターンも閾値と同じかそれ以下なので、結果がVaRより小さくなることはありません。比率 ES / VaR は裾の重さを示します。正規分布では95%でおよそ1.2で、ファットテールのデータでは通常もっと大きくなります。

import numpy as np

def tail_returns(returns, confidence):
    cutoff = np.quantile(returns, 1 - confidence)
    return np.sort(returns[returns <= cutoff])

def historical_es(returns, confidence):
    return float(-tail_returns(returns, confidence).mean())

rng = np.random.default_rng(5)
returns = rng.standard_t(4, size=1000) * 0.01
for confidence in (0.95, 0.99):
    var = -np.quantile(returns, 1 - confidence)
    es = historical_es(returns, confidence)
    print(confidence, round(float(var), 5), round(es, 5), round(es / float(var), 3))

正規分布の場合の公式

正規分布のリターンでは、裾の平均に閉じた式があります：ES = sigma * pdf(z) / (1 - confidence) - mu。z はVaRに使う分位点、pdf は z での標準正規密度です。計算は2行の関数になりますが、正確なのはデータが正規のときだけなので、ヒストリカルESとの比較は、データが正規性からどれだけ外れているかの手早い検査になります。

from statistics import NormalDist

def normal_es(mu, sigma, confidence):
    z = NormalDist().inv_cdf(confidence)
    return sigma * NormalDist().pdf(z) / (1 - confidence) - mu

for confidence in (0.95, 0.975, 0.99):
    var = NormalDist().inv_cdf(confidence)                        # in standard deviations, mu = 0
    es = normal_es(0.0, 1.0, confidence)
    print(confidence, round(var, 3), round(es, 3), round(es / var, 3))       # ES/VaR: 1.254, 1.193, 1.146

# The formula against a simulated tail
import numpy as np
from statistics import NormalDist

rng = np.random.default_rng(0)
sample = rng.normal(0.0, 0.01, size=1_000_000)
tail = sample[sample <= np.quantile(sample, 0.01)]
simulated = -tail.mean()
z = NormalDist().inv_cdf(0.99)
formula = 0.01 * NormalDist().pdf(z) / 0.01
print(round(float(simulated), 5), round(formula, 5))         # both close to 0.02665

• ESはVaRを超えた裾の平均損失。(1 - confidence) 分位点以下のリターンの平均にマイナスを付けたもの
• VaRを下回ることはない。ES / VaR は裾の重さを測り、正規分布の公式は sigma * pdf(z) / (1 - confidence) - mu
• VaRは閾値、ESは深刻さとして報告する。ESは裾の観測が少ないためノイズが大きい

次はストレステストです。特定の極端なシナリオでポートフォリオがいくら失うかを問います。

ラボ：採点される内容

• tail_returns で最悪の日々を取り出す25点
• historical_es で裾の平均を取る25点
• normal_es で公式から求める25点
• es_var_ratio で裾と閾値を比べる25点