预期损失

VaR 没有说的话

99% 的 VaR 为 3%，意思是 100 天里有 99 天亏损少于 3%。它对第 100 天一无所说：可能是 3.1%，也可能是 30%。预期损失（ES，CVaR）填补了这个缺口：它是 VaR 被突破的那些天的平均亏损，因而描述了尾部的形状。由于是平均值，它变化平滑，而且与 VaR 不同，它总是奖励分散化，这也是巴塞尔在市场风险上从 VaR 转向 ES 的原因。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(5)
returns = rng.standard_t(4, size=1000) * 0.01

cutoff = np.quantile(returns, 0.05)                   # the 95% VaR is minus this
tail = np.sort(returns[returns <= cutoff])            # the worst 5% of the days, lowest first
print(len(tail), round(float(-cutoff), 5))            # 50 days; the VaR
print(np.round(tail[:4], 4))                          # the four worst days

对尾部求平均

历史法下 ES 很简单：选出不高于 VaR 阈值的收益率，求平均，再取负号。结果绝不会小于 VaR，因为尾部的每个收益率都至少和阈值一样差。比值 ES / VaR 表明尾部有多厚。正态分布在 95% 时约为 1.2，厚尾数据通常显示更大的比值。

import numpy as np

def tail_returns(returns, confidence):
    cutoff = np.quantile(returns, 1 - confidence)
    return np.sort(returns[returns <= cutoff])

def historical_es(returns, confidence):
    return float(-tail_returns(returns, confidence).mean())

rng = np.random.default_rng(5)
returns = rng.standard_t(4, size=1000) * 0.01
for confidence in (0.95, 0.99):
    var = -np.quantile(returns, 1 - confidence)
    es = historical_es(returns, confidence)
    print(confidence, round(float(var), 5), round(es, 5), round(es / float(var), 3))

正态情形的公式

对于正态收益，尾部平均值有闭式：ES = sigma * pdf(z) / (1 - confidence) - mu，其中 z 是计算 VaR 所用的分位数，pdf 是标准正态密度在 z 处的值。计算只需两行，且只有数据服从正态时才精确，所以与历史 ES 比较是检验数据偏离正态程度的快速办法。

from statistics import NormalDist

def normal_es(mu, sigma, confidence):
    z = NormalDist().inv_cdf(confidence)
    return sigma * NormalDist().pdf(z) / (1 - confidence) - mu

for confidence in (0.95, 0.975, 0.99):
    var = NormalDist().inv_cdf(confidence)                        # in standard deviations, mu = 0
    es = normal_es(0.0, 1.0, confidence)
    print(confidence, round(var, 3), round(es, 3), round(es / var, 3))       # ES/VaR: 1.254, 1.193, 1.146

# The formula against a simulated tail
import numpy as np
from statistics import NormalDist

rng = np.random.default_rng(0)
sample = rng.normal(0.0, 0.01, size=1_000_000)
tail = sample[sample <= np.quantile(sample, 0.01)]
simulated = -tail.mean()
z = NormalDist().inv_cdf(0.99)
formula = 0.01 * NormalDist().pdf(z) / 0.01
print(round(float(simulated), 5), round(formula, 5))         # both close to 0.02665

• ES 是超过 VaR 的尾部平均亏损：不高于 (1 - confidence) 分位数的收益率均值取负。
• 它永远不低于 VaR；ES / VaR 衡量尾部的厚重，正态公式为 sigma * pdf(z) / (1 - confidence) - mu。
• VaR 作为阈值、ES 作为严重程度一并报告；ES 依赖的尾部观测少，噪声更大。

下一节：压力测试，问一个组合在某个具体的极端情景下会亏多少。

实验：评分内容

• 用 tail_returns 取出最糟的日子25 分
• 用 historical_es 对尾部求平均25 分
• 用 normal_es 由公式得出25 分
• 用 es_var_ratio 比较尾部与阈值25 分