参数法 VaR

用公式代替历史

历史 VaR 从过去的收益率中读出损失。参数化 VaR 假设收益率服从正态分布，只需要均值和标准差两个数。以概率 1 - confidence 被超过的损失就是 z * sigma - mu，其中 z 是标准正态分位数（95% 时为 1.645，99% 时为 2.326）。它快速、平滑，而且很容易推广到整个组合，因此几十年来是行业标准。

from statistics import NormalDist

def normal_var(mu, sigma, confidence):
    z = NormalDist().inv_cdf(confidence)
    return z * sigma - mu

print(round(NormalDist().inv_cdf(0.95), 4), round(NormalDist().inv_cdf(0.99), 4))
print(round(normal_var(0.0005, 0.012, 0.95), 5))        # a 95% one-day loss limit
print(round(normal_var(0.0005, 0.012, 0.99), 5))        # a higher confidence, a larger limit

# The multiplier z for common confidence levels
from statistics import NormalDist

for confidence in (0.90, 0.95, 0.975, 0.99, 0.999):
    print(confidence, round(NormalDist().inv_cdf(confidence), 3))       # 1.282, 1.645, 1.96, 2.326, 3.09

从单个资产到组合，再到十天

对于组合，均值是 weights @ mu，标准差是 sqrt(weights @ cov @ weights)，正是组合方差那一节的量。分散化直接体现出来：相关性越低，标准差和 VaR 越小。期限更长时，均值随天数增长，标准差随其平方根增长，所以 10 日 VaR 是 z * sigma * sqrt(10) - mu * 10。

import numpy as np
from statistics import NormalDist

def normal_var(mu, sigma, confidence):
    return NormalDist().inv_cdf(confidence) * sigma - mu

weights = np.array([0.6, 0.4])
mu = np.array([0.0005, 0.0003])
cov = np.array([[0.00016, 0.00004], [0.00004, 0.00009]])             # volatilities 1.26% and 0.95%, correlation 0.33

mean, std = float(weights @ mu), float(np.sqrt(weights @ cov @ weights))
print(round(mean, 5), round(std, 5))
print(round(normal_var(mean, std, 0.99), 5))
print(round(normal_var(mean * 10, std * np.sqrt(10), 0.99), 5))      # the 10-day figure

正态假设失效之处

真实收益率有厚尾：极端的日子比正态分布允许的频繁得多。因此参数化 VaR 看起来太小，置信水平越高越明显。用同一份数据与历史 VaR 比较就能看出差距：为正说明正态模型低估了风险。95% 时两者往往接近，99% 时可能相差很大。

# Fat-tailed returns: the normal model understates the 99% loss
import numpy as np
from statistics import NormalDist

rng = np.random.default_rng(2)
returns = rng.standard_t(3, size=5000) * 0.008           # a fat-tailed distribution (3 degrees of freedom)

for confidence in (0.95, 0.99):
    historical = -np.quantile(returns, 1 - confidence)
    parametric = NormalDist().inv_cdf(confidence) * returns.std(ddof=1) - returns.mean()
    print(confidence, round(float(historical), 5), round(float(parametric), 5), round(float(historical - parametric), 5))

• 参数化 VaR = z * sigma - mu，其中 z = NormalDist().inv_cdf(confidence)：只需均值和标准差。
• 组合使用 weights @ mu 和 sqrt(weights @ cov @ weights)；期限把均值乘以 days、波动率乘以 sqrt(days)。
• 真实收益有厚尾，所以与历史 VaR 比较：差值为正说明正态模型低估了风险。

下一节：预期损失（ES），VaR 被突破那些天的平均亏损。

实验：评分内容

• 用 normal_var 把两个数变成损失上限25 分
• 用 portfolio_normal_var 覆盖整个组合25 分
• 用 horizon_var 看得更远25 分
• 用 normality_gap 度量厚尾25 分