VaR paramétrico

Uma fórmula em vez de um histórico

O VaR histórico lê a perda nos retornos passados. O VaR paramétrico supõe que os retornos seguem uma distribuição normal e precisa de apenas dois números, a média e o desvio-padrão. A perda excedida com probabilidade 1 - confidence é então z * sigma - mu, em que z é o quantil da normal padrão (1,645 a 95%, 2,326 a 99%). É rápido, suave e se estende facilmente a uma carteira inteira, por isso foi o padrão do setor por décadas.

from statistics import NormalDist

def normal_var(mu, sigma, confidence):
    z = NormalDist().inv_cdf(confidence)
    return z * sigma - mu

print(round(NormalDist().inv_cdf(0.95), 4), round(NormalDist().inv_cdf(0.99), 4))
print(round(normal_var(0.0005, 0.012, 0.95), 5))        # a 95% one-day loss limit
print(round(normal_var(0.0005, 0.012, 0.99), 5))        # a higher confidence, a larger limit

# The multiplier z for common confidence levels
from statistics import NormalDist

for confidence in (0.90, 0.95, 0.975, 0.99, 0.999):
    print(confidence, round(NormalDist().inv_cdf(confidence), 3))       # 1.282, 1.645, 1.96, 2.326, 3.09

De um ativo a uma carteira, e a dez dias

Para uma carteira, a média é weights @ mu e o desvio-padrão sqrt(weights @ cov @ weights), as quantidades do tópico de variância de carteira. A diversificação aparece diretamente: correlações baixas reduzem o desvio-padrão e o VaR. Para um horizonte maior, a média cresce com o número de dias e o desvio-padrão com sua raiz, então um VaR de 10 dias é z * sigma * sqrt(10) - mu * 10.

import numpy as np
from statistics import NormalDist

def normal_var(mu, sigma, confidence):
    return NormalDist().inv_cdf(confidence) * sigma - mu

weights = np.array([0.6, 0.4])
mu = np.array([0.0005, 0.0003])
cov = np.array([[0.00016, 0.00004], [0.00004, 0.00009]])             # volatilities 1.26% and 0.95%, correlation 0.33

mean, std = float(weights @ mu), float(np.sqrt(weights @ cov @ weights))
print(round(mean, 5), round(std, 5))
print(round(normal_var(mean, std, 0.99), 5))
print(round(normal_var(mean * 10, std * np.sqrt(10), 0.99), 5))      # the 10-day figure

Onde a suposição normal falha

Os retornos reais têm caudas pesadas: os dias extremos são muito mais frequentes do que uma normal permite. O VaR paramétrico parece então pequeno demais, sobretudo com confiança alta. Compará-lo com o VaR histórico nos mesmos dados mostra a diferença: positiva significa que o modelo normal subestima o risco. A 95% os dois costumam ser próximos, a 99% podem diferir muito.

# Fat-tailed returns: the normal model understates the 99% loss
import numpy as np
from statistics import NormalDist

rng = np.random.default_rng(2)
returns = rng.standard_t(3, size=5000) * 0.008           # a fat-tailed distribution (3 degrees of freedom)

for confidence in (0.95, 0.99):
    historical = -np.quantile(returns, 1 - confidence)
    parametric = NormalDist().inv_cdf(confidence) * returns.std(ddof=1) - returns.mean()
    print(confidence, round(float(historical), 5), round(float(parametric), 5), round(float(historical - parametric), 5))

• VaR paramétrico = z * sigma - mu com z = NormalDist().inv_cdf(confidence): bastam a média e o desvio-padrão.
• Uma carteira usa weights @ mu e sqrt(weights @ cov @ weights); um horizonte multiplica a média por days e a volatilidade por sqrt(days).
• Retornos reais têm caudas pesadas: compare com o VaR histórico; uma diferença positiva significa que o modelo normal subestima o risco.

A seguir: o expected shortfall, a perda média nos dias em que o VaR é excedido.

Lab: o que é avaliado

• Transformar dois números em um limite com normal_var25 pts
• Cobrir uma carteira inteira com portfolio_normal_var25 pts
• Olhar mais adiante com horizon_var25 pts
• Medir as caudas pesadas com normality_gap25 pts