Expected shortfall

O que o VaR não diz

Um VaR de 99% de 3% diz que em 99 dias de 100 você perde menos de 3%. Não diz nada sobre o centésimo dia: pode ser 3,1% ou 30%. O expected shortfall (ES, CVaR) fecha a lacuna. É a perda média nos dias em que o VaR é excedido, então descreve a forma da cauda. Por ser uma média, também muda suavemente e, diferentemente do VaR, premia sempre a diversificação, e por isso Basileia passou do VaR para o ES no risco de mercado.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(5)
returns = rng.standard_t(4, size=1000) * 0.01

cutoff = np.quantile(returns, 0.05)                   # the 95% VaR is minus this
tail = np.sort(returns[returns <= cutoff])            # the worst 5% of the days, lowest first
print(len(tail), round(float(-cutoff), 5))            # 50 days; the VaR
print(np.round(tail[:4], 4))                          # the four worst days

Fazer a média da cauda

Historicamente o ES é direto: selecionam-se os retornos iguais ou abaixo do corte do VaR, tira-se a média e inverte-se o sinal. O resultado nunca é menor que o VaR, pois cada retorno da cauda é pelo menos tão ruim quanto o corte. A razão ES / VaR indica o peso da cauda. Para uma normal é cerca de 1,2 a 95%, e dados de caudas pesadas costumam mostrar razão maior.

import numpy as np

def tail_returns(returns, confidence):
    cutoff = np.quantile(returns, 1 - confidence)
    return np.sort(returns[returns <= cutoff])

def historical_es(returns, confidence):
    return float(-tail_returns(returns, confidence).mean())

rng = np.random.default_rng(5)
returns = rng.standard_t(4, size=1000) * 0.01
for confidence in (0.95, 0.99):
    var = -np.quantile(returns, 1 - confidence)
    es = historical_es(returns, confidence)
    print(confidence, round(float(var), 5), round(es, 5), round(es / float(var), 3))

Uma fórmula para o caso normal

Para um retorno normal a média da cauda tem forma fechada: ES = sigma * pdf(z) / (1 - confidence) - mu, em que z é o quantil usado no VaR e pdf a densidade normal padrão em z. Reduz o cálculo a uma função de duas linhas e só é exata se os dados forem normais, então compará-la com o ES histórico é um teste rápido de quanto os dados se afastam da normalidade.

from statistics import NormalDist

def normal_es(mu, sigma, confidence):
    z = NormalDist().inv_cdf(confidence)
    return sigma * NormalDist().pdf(z) / (1 - confidence) - mu

for confidence in (0.95, 0.975, 0.99):
    var = NormalDist().inv_cdf(confidence)                        # in standard deviations, mu = 0
    es = normal_es(0.0, 1.0, confidence)
    print(confidence, round(var, 3), round(es, 3), round(es / var, 3))       # ES/VaR: 1.254, 1.193, 1.146

# The formula against a simulated tail
import numpy as np
from statistics import NormalDist

rng = np.random.default_rng(0)
sample = rng.normal(0.0, 0.01, size=1_000_000)
tail = sample[sample <= np.quantile(sample, 0.01)]
simulated = -tail.mean()
z = NormalDist().inv_cdf(0.99)
formula = 0.01 * NormalDist().pdf(z) / 0.01
print(round(float(simulated), 5), round(formula, 5))         # both close to 0.02665

• O ES é a perda média na cauda além do VaR: menos a média dos retornos iguais ou abaixo do quantil (1 - confidence).
• Nunca é menor que o VaR; ES / VaR mede o peso da cauda, e a fórmula normal é sigma * pdf(z) / (1 - confidence) - mu.
• Reporte o VaR como limiar e o ES como gravidade; o ES é mais ruidoso porque se apoia em poucas observações de cauda.

A seguir: os testes de estresse, perguntar quanto uma carteira perderia em um cenário específico e extremo.

Lab: o que é avaliado

• Isolar os piores dias com tail_returns25 pts
• Fazer a média da cauda com historical_es25 pts
• Obtê-lo por uma fórmula com normal_es25 pts
• Comparar cauda e limiar com es_var_ratio25 pts