Um sorriso por vencimento, e eles precisam concordar
Trabalha-se com a variância total w=σ²T contra a log-moneyness k=ln(K/F). O sorriso SVI é w(k)=a+b(ρ(k-m)+√((k-m)²+s²)) com cinco parâmetros: a eleva o nível, b define o ângulo das asas, -1<ρ<1 inclina o sorriso (negativo em ações), m move o mínimo e s arredonda o fundo. Ajustá-lo às cotações é um problema de mínimos quadrados, mas delicado: os parâmetros se compensam em parte e um mau início emperra. least_squares(residuals, x0, bounds=(lower, upper)) trata os limites, que mantêm b>0, |ρ|<1 e s>0, e uma resposta robusta vem de vários pontos de partida, ficando com o de menor cost.
Uma superfície é um sorriso por vencimento, e os sorrisos devem concordar no tempo. Se a variância total num strike cai quando o prazo cresce, um spread de calendário tem preço negativo, o que é arbitragem. A verificação é barata: para vencimentos consecutivos, avalie os dois sorrisos ajustados numa grade de k e conte os pontos em que w_T₂<w_T₁ (com uma tolerância mínima). Lembre-se de ordenar antes os vencimentos, pois um dicionário não promete ordem. A volatilidade implícita de um ajuste é σ(k)=√(w(k)/T). No laboratório, quatro vencimentos são ajustados a cotações com 0,2 % de ruído: o rmse tem o tamanho desse ruído, a volatilidade no dinheiro é recuperada com erro abaixo de 1 % e a superfície não tem violação; trocar os parâmetros de dois vencimentos dá 121 violações, uma em cada ponto da grade.
- Limites e vários inícios: os parâmetros SVI se compensam, então ajuste de três pontos de partida e fique com o menor custo.
- Variância total, não volatilidade: compare prazos com w=σ²T, que não deve cair quando T cresce.
- Ordene os vencimentos antes de comparar vizinhos; um dicionário não tem ordem garantida.
Lab: o que é avaliado
- O sorriso SVI10 pts
- Ajustar um sorriso25 pts
- Calibrar a superfície20 pts
- Volatilidade implícita10 pts
- Arbitragem de calendário20 pts
- O estudo da superfície15 pts