Quatro números para uma curva inteira
O mercado cota os rendimentos do Tesouro dos EUA em dez prazos, de 3 meses a 30 anos, mas um banco precisa de uma taxa para cada data. Neste projeto final você descreve a curva inteira com os quatro números do modelo de Nelson–Siegel: um nível de longo prazo β₀, uma inclinação β₁, uma corcova β₂ e um comprimento de decaimento λ em anos. Você os calibra às cotações com scipy.optimize.least_squares, partindo de vários valores de λ porque a curva não é linear em λ, e fica com o ajuste de menor custo. Da curva ajustada você lê uma taxa a termo, e integra a curva de taxas a termo instantâneas com integrate.quad para obter um fator de desconto D(T)=e^(-A/100), em que A é a área sob a curva a termo em percentual.
A mesma curva precifica um título. Cada fluxo é descontado com o rendimento do seu próprio prazo, P=Σcᵢ e^(-y(tᵢ)tᵢ/100), e o rendimento até o vencimento é a taxa única que devolve o preço, achada com optimize.brentq. As opções funcionam do mesmo jeito: a volatilidade implícita é a raiz de bs_call(σ)-preço, de novo com brentq. As cotações reais de opções não fazem parte dos dados compartilhados, então você testa o smile com preços que gera com a função fornecida bs_call, e ajusta o smile σ(m)=a+b m+c m² em log-moneyness m=ln(K/S) por mínimos quadrados. Cada função é avaliada com entradas aleatórias contra uma referência independente, e o último teste roda todo o seu estudo no arquivo real do Tesouro.
- Calibre a partir de vários inícios: o comprimento de decaimento torna o ajuste não linear, então um só início pode parar numa curva ruim.
- Confira por um segundo caminho: o fator de desconto da curva a termo integrada deve igualar o obtido do rendimento.
- Raízes precificam o mercado: um rendimento até o vencimento e uma volatilidade implícita são raízes achadas com brentq sobre um erro de preço.
Lab: o que é avaliado
- A curva cotada de um dia5 pts
- O rendimento de Nelson–Siegel10 pts
- Calibrar a curva15 pts
- Uma taxa a termo10 pts
- Um fator de desconto a partir de taxas a termo10 pts
- Um preço de título a partir da curva10 pts
- Um rendimento até o vencimento10 pts
- Uma volatilidade implícita10 pts
- Um smile quadrático10 pts
- A calibração completa10 pts