用四个数描述整条曲线
市场对美国国债在 3 个月到 30 年的十个期限给出收益率报价，但银行需要每个日期的利率。在这个综合项目中，你用纳尔逊–西格尔模型的四个数描述整条曲线：长期水平 β₀、斜率 β₁、驼峰 β₂ 和以年计的衰减长度 λ。你用 scipy.optimize.least_squares 把它们校准到报价上，由于曲线对 λ 不是线性的，要从多个 λ 初值出发，保留代价最低的拟合。从拟合曲线读出远期利率，并用 integrate.quad 对瞬时远期曲线积分，得到贴现因子 D(T)=e^(-A/100)，其中 A 是远期曲线下的面积（百分数）。
同一条曲线还可以给债券定价。每笔现金流按各自期限的收益率贴现，P=Σcᵢ e^(-y(tᵢ)tᵢ/100)，到期收益率是使价格还原的唯一利率，用 optimize.brentq 求得。期权的做法相同：隐含波动率是 bs_call(σ)-价格 的根，同样用 brentq 求得。真实的期权报价不在共享数据中，所以你用提供的 bs_call 自己生成价格来测试微笑，并用最小二乘拟合微笑 σ(m)=a+b m+c m²，其中 m=ln(K/S) 是对数虚实度。每个函数都用随机输入与独立参考解对照评分，最后一个测试在真实的美债文件上运行你的整个研究。
y(τ)=β₀+β₁g+β₂ (g-e^(-x)), x=τ/λ, g=(1-e^(-x))/x, D(T)=e^(-A/100)
真实曲线的信息2026 年 10 月 9 日，十个报价收益率可由 β₀=5.75%、β₁=-1.52、β₂≈0、λ=2.7 年的曲线复现，平均误差 7.3 个基点。5 年到 10 年的远期利率是 5.64%，10 年贴现因子是 0.586，年息 5% 的 10 年期债券价格为 96.70，收益率 5.29%。2020 年 3 月 31 日市场恐慌之中，水平为 1.87%，拟合误差仅 1.7 个基点，5 到 10 年远期为 1.02%，10 年贴现因子为 0.931，同一债券的收益率为 0.67%。
- 从多个起点校准：衰减长度使拟合非线性，单一起点可能停在较差的曲线上。
- 用第二条路径验证：由积分后的远期曲线得到的贴现因子必须等于由收益率得到的。
- 求根为市场定价：到期收益率和隐含波动率都是对价格误差用 brentq 求得的根。
实验：评分内容
- 某一天的报价曲线5 分
- 纳尔逊–西格尔收益率10 分
- 校准曲线15 分
- 远期利率10 分
- 由远期利率得到贴现因子10 分
- 由曲线得到债券价格10 分
- 到期收益率10 分
- 隐含波动率10 分
- 二次微笑10 分
- 完整校准10 分