Una sonrisa por vencimiento, y deben concordar
Se trabaja con la varianza total w=σ²T frente a la log-moneyness k=ln(K/F). La sonrisa SVI es w(k)=a+b(ρ(k-m)+√((k-m)²+s²)) con cinco parámetros: a sube el nivel, b fija el ángulo de las alas, -1<ρ<1 inclina la sonrisa (negativo en acciones), m mueve el mínimo y s redondea el fondo. Ajustarla a cotizaciones es un problema de mínimos cuadrados, pero delicado: los parámetros se compensan en parte y un mal inicio se atasca. least_squares(residuals, x0, bounds=(lower, upper)) maneja las cotas, que mantienen b>0, |ρ|<1 y s>0, y una respuesta robusta sale de varios puntos de partida, quedándose con el de menor cost.
Una superficie es una sonrisa por vencimiento, y las sonrisas deben concordar en el tiempo. Si la varianza total en algún strike baja al crecer el plazo, un spread de calendario tiene precio negativo, lo cual es un arbitraje. La comprobación es barata: para vencimientos consecutivos, evalúe ambas sonrisas ajustadas en una rejilla de k y cuente los puntos donde w_T₂<w_T₁ (con una tolerancia mínima). Recuerde ordenar antes los vencimientos, pues un diccionario no promete orden. La volatilidad implícita de un ajuste es σ(k)=√(w(k)/T). En el laboratorio se ajustan cuatro vencimientos a cotizaciones con 0,2 % de ruido: el rmse es del tamaño de ese ruido, la volatilidad en el dinero se recupera con un error menor del 1 % y la superficie no tiene violaciones; intercambiar los parámetros de dos vencimientos da 121 violaciones, una en cada punto de la rejilla.
- Cotas y varios inicios: los parámetros SVI se compensan, así que ajuste desde tres puntos de partida y quédese con el menor coste.
- Varianza total, no volatilidad: compare plazos con w=σ²T, que no debe bajar al crecer T.
- Ordene los vencimientos antes de comparar vecinos; un diccionario no tiene orden garantizado.
Lab: qué se califica
- La sonrisa SVI10 pts
- Ajustar una sonrisa25 pts
- Calibrar la superficie20 pts
- Volatilidad implícita10 pts
- Arbitraje de calendario20 pts
- El estudio de la superficie15 pts