Ein Smile pro Laufzeit, und sie müssen zusammenpassen
Man arbeitet mit der Gesamtvarianz w=σ²T über der Log-Moneyness k=ln(K/F). Das SVI-Smile ist w(k)=a+b(ρ(k-m)+√((k-m)²+s²)) mit fünf Parametern: a hebt das Niveau, b legt den Winkel der Flügel fest, -1<ρ<1 neigt das Smile (negativ bei Aktien), m verschiebt das Minimum und s rundet den Boden. Die Anpassung an Quotes ist ein Kleinste-Quadrate-Problem, aber ein heikles: Die Parameter kompensieren sich teilweise, und ein schlechter Start bleibt hängen. least_squares(residuals, x0, bounds=(lower, upper)) behandelt die Schranken, die b>0, |ρ|<1 und s>0 sichern, und eine robuste Antwort kommt von mehreren Startpunkten, wobei der mit den niedrigsten cost bleibt.
Eine Fläche ist ein Smile pro Laufzeit, und die Smiles müssen über die Zeit zusammenpassen. Fällt die Gesamtvarianz bei einem Strike mit wachsender Laufzeit, hat ein Kalenderspread einen negativen Preis, also eine Arbitrage. Die Prüfung ist billig: Für aufeinanderfolgende Laufzeiten beide angepassten Smiles auf einem Gitter von k auswerten und die Punkte zählen, an denen w_T₂<w_T₁ gilt (mit winziger Toleranz). Die Laufzeiten vorher sortieren, denn ein Dictionary verspricht keine Reihenfolge. Die implizite Volatilität einer Anpassung ist σ(k)=√(w(k)/T). Im Labor werden vier Laufzeiten an Quotes mit 0,2 % Rauschen angepasst: Der rmse hat die Größe dieses Rauschens, die At-the-money-Volatilität wird auf 1 % genau wiedergefunden, und die Fläche hat keine Verletzung; das Vertauschen der Parameter zweier Laufzeiten ergibt 121 Verletzungen, eine an jedem Gitterpunkt.
- Schranken und mehrere Starts: SVI-Parameter kompensieren sich, daher von drei Startpunkten anpassen und die niedrigsten Kosten behalten.
- Gesamtvarianz, nicht Volatilität: Laufzeiten mit w=σ²T vergleichen, das mit wachsendem T nicht fallen darf.
- Laufzeiten sortieren, bevor Nachbarn verglichen werden; ein Dictionary hat keine garantierte Reihenfolge.
Lab: Was bewertet wird
- Das SVI-Smile10 Pkt.
- Ein Smile anpassen25 Pkt.
- Die Fläche kalibrieren20 Pkt.
- Implizite Volatilität10 Pkt.
- Kalenderarbitrage20 Pkt.
- Die Flächenstudie15 Pkt.