Otimizar sob regras
Carteiras reais obedecem a regras: os pesos somam um, sem vendas a descoberto, um teto de giro. Um problema com restrições é minf(w) sujeito a igualdades h(w)=0 e desigualdades g(w)≤0. Com uma igualdade, o melhor ponto viável é onde ∇f atravessa a superfície da restrição de lado a lado, porque qualquer componente lateral serviria para melhorar f sem sair da superfície. Essa é a condição de Lagrange ∇f+λ∇h=0, e o número λ é o multiplicador de Lagrange. Reunir tudo no lagrangiano L=f+λh+μg transforma o problema com restrições na busca de um ponto estacionário de L.
∇f+λ∇h+μ∇g=0,h=0,g≤0,μ≥0,μg=0(1) Para desigualdades o conjunto completo de condições, com o nome de Karush, Kuhn e Tucker, tem quatro partes: estacionariedade do lagrangiano, viabilidade primal (as restrições valem), viabilidade dual (μ≥0) e folga complementar (μg=0). A folga complementar diz que cada desigualdade está inativa, com g<0 e μ=0, então não importa, ou ativa, com g=0 e μ>0, então age como uma igualdade. Num problema convexo essas condições são necessárias e suficientes para um ótimo global. O multiplicador também é um preço: é a taxa em que o melhor valor de f melhora quando a restrição é relaxada em uma unidade.
Dois exemplos pequenosMinimize
x2+y2 sujeito a
x+y=1. As condições de Lagrange
2x+λ=0 e
2y+λ=0 dão
x=y=−λ/2, e a restrição dá então
λ=−1 e
x=y=0.5, com valor
0.5. Se a restrição é relaxada para
x+y=c, o melhor valor passa a
c2/2, com inclinação
1=−λ em
c=1. Depois, minimize
(x−2)2 sujeito a
x≤1. O mínimo livre
x=2 quebra a regra, então a restrição está ativa em
x=1 e
2(x−2)+μ=0 dá
μ=2>0. Com a regra
x≤3, o mínimo livre é permitido e
μ=0.
A carteira de variância mínima é o caso modelo: minimizar wTΣw sujeito a 1Tw=1. A condição de Lagrange 2Σw+λ1=0 dá w∝Σ−11. Para dois ativos não correlacionados com variâncias 0.04 e 0.09, os pesos são proporcionais a 1/0.04=25 e 1/0.09=11.1, então w1=0.692, w2=0.308 e a variância da carteira é 1/(25+11.1)=0.0277. O multiplicador é −2 vezes essa variância mínima. Numa carteira real uma regra só comprado ou um teto de giro tem seu próprio multiplicador, e um μ grande indica que essa regra custa caro.
- Restrição de igualdade: ∇f+λ∇h=0 junto com h=0.
- Desigualdade: μ≥0 e μg=0; ativa significa g=0, inativa significa μ=0.
- Preço: um multiplicador é a sensibilidade do melhor valor a um relaxamento da sua restrição.
Verifique a viabilidade e os sinaisDepois de resolver, verifique a resposta com as quatro condições. Os deslizes mais comuns são um multiplicador com sinal errado numa desigualdade (deve ser μ≥0 quando as restrições se escrevem g≤0) e uma restrição ativa que se supôs inativa. As convenções de sinal variam entre livros e bibliotecas, então leia sempre qual forma seu solver espera. Lab: o que é avaliado
- O multiplicador10 pts
- O ponto ótimo10 pts
- Relaxar a restrição10 pts
- O peso de variância mínima de dois ativos15 pts
- A variância mínima15 pts
- As quatro condições KKT15 pts
- Uma restrição ativa10 pts
- O que um multiplicador diz15 pts
