Optimisation sous contraintes et KKT

Optimiser sous des règles

Les vrais portefeuilles obéissent à des règles : les poids somment à un, pas de vente à découvert, un plafond de rotation. Un problème sous contraintes est $\min f(\mathbf w)$ sous des égalités $h(\mathbf w)=0$ et des inégalités $g(\mathbf w)\le0$. Avec une égalité, le meilleur point admissible est là où $\nabla f$ traverse la surface de contrainte de part en part, car toute composante latérale permettrait d'améliorer $f$ sans quitter la surface. C'est la condition de Lagrange $\nabla f+\lambda\nabla h=0$, et le nombre $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange. Tout regrouper dans le lagrangien $L=f+\lambda h+\mu g$ transforme le problème sous contraintes en la recherche d'un point stationnaire de $L$.

Pour les inégalités, l'ensemble complet des conditions, du nom de Karush, Kuhn et Tucker, comporte quatre parties : stationnarité du lagrangien, admissibilité primale (les contraintes sont vérifiées), admissibilité duale ($\mu\ge0$) et complémentarité ($\mu g=0$). La complémentarité dit que chaque inégalité est soit inactive, avec $g<0$ et $\mu=0$, donc sans effet, soit active, avec $g=0$ et $\mu>0$, donc elle agit comme une égalité. Pour un problème convexe ces conditions sont nécessaires et suffisantes pour un optimum global. Le multiplicateur est aussi un prix : c'est le taux auquel la meilleure valeur de $f$ s'améliore quand on relâche la contrainte d'une unité.

Le portefeuille de variance minimale est le cas modèle : minimiser $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ sous $\mathbf 1^{T}\mathbf w=1$. La condition de Lagrange $2\Sigma\mathbf w+\lambda\mathbf 1=0$ donne $\mathbf w\propto\Sigma^{-1}\mathbf 1$. Pour deux actifs non corrélés de variances $0.04$ et $0.09$, les poids sont proportionnels à $1/0.04=25$ et $1/0.09=11.1$, donc $w_1=0.692$, $w_2=0.308$ et la variance du portefeuille vaut $1/(25+11.1)=0.0277$. Le multiplicateur vaut $-2$ fois cette variance minimale. Dans un vrai portefeuille, une règle long seulement ou un plafond de rotation a son propre multiplicateur, et un $\mu$ élevé indique que cette règle coûte cher.

• Contrainte d'égalité : $\nabla f+\lambda\nabla h=0$ avec $h=0$.
• Inégalité : $\mu\ge0$ et $\mu g=0$ ; active signifie $g=0$, inactive signifie $\mu=0$.
• Prix : un multiplicateur est la sensibilité de la meilleure valeur à un relâchement de sa contrainte.

Lab : ce qui est noté

• Le multiplicateur10 pts
• Le point optimal10 pts
• Relâcher la contrainte10 pts
• Le poids de variance minimale de deux actifs15 pts
• La variance minimale15 pts
• Les quatre conditions KKT15 pts
• Une contrainte active10 pts
• Ce que dit un multiplicateur15 pts