制約付き最適化とKKT条件

ルールの下での最適化

実際のポートフォリオにはルールがあります：ウェイトの合計は1、空売りなし、回転率の上限。制約付き問題は、等式 $h(\mathbf w)=0$ と不等式 $g(\mathbf w)\le0$ の下で $\min f(\mathbf w)$ を求めるものです。等式が1つなら、最良の実行可能点は $\nabla f$ が制約面を真っ直ぐ貫く所です。横向きの成分があれば、面を離れずに $f$ を改善できてしまうからです。これがラグランジュの条件 $\nabla f+\lambda\nabla h=0$ で、$\lambda$ がラグランジュ乗数です。すべてをラグランジュ関数 $L=f+\lambda h+\mu g$ にまとめると、制約付き問題は $L$ の停留点を探す問題になります。

不等式を含む場合の完全な条件の組は、カルーシュ、クーン、タッカーにちなんで名づけられ、4つの部分からなります：ラグランジュ関数の停留性、主実行可能性（制約が成り立つ）、双対実行可能性（$\mu\ge0$）、相補性（$\mu g=0$）。相補性は、各不等式が $g<0$ かつ $\mu=0$ で不活性（影響なし）か、$g=0$ かつ $\mu>0$ で活性（等式のように働く）かのどちらかだと述べます。凸問題では、これらの条件は大域最適解の必要十分条件です。乗数は価格でもあり、制約を1単位緩めたときに $f$ の最良値が改善する率を表します。

最小分散ポートフォリオは典型例で、$\mathbf 1^{T}\mathbf w=1$ の下で $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ を最小化します。ラグランジュ条件 $2\Sigma\mathbf w+\lambda\mathbf 1=0$ から $\mathbf w\propto\Sigma^{-1}\mathbf 1$ です。分散が $0.04$ と $0.09$ の無相関な2資産では、ウェイトは $1/0.04=25$ と $1/0.09=11.1$ に比例するので、$w_1=0.692$、$w_2=0.308$、ポートフォリオ分散は $1/(25+11.1)=0.0277$ です。乗数はこの最小分散の $-2$ 倍に等しくなります。実際のポートフォリオでは、ロングオンリーの規則や回転率の上限にもそれぞれ乗数があり、大きな $\mu$ はその規則が大きなコストになっていることを示します。

• 等式制約：$\nabla f+\lambda\nabla h=0$ と $h=0$。
• 不等式：$\mu\ge0$ かつ $\mu g=0$。活性は $g=0$、不活性は $\mu=0$。
• 価格：乗数は、制約を緩めたときの最良値の感応度です。

ラボ：採点される内容

• 乗数10点
• 最適点10点
• 制約を緩める10点
• 2資産の最小分散ウェイト15点
• 最小分散15点
• 4つのKKT条件15点
• 活性制約10点
• 乗数が教えてくれること15点