Optimización con restricciones y KKT

Optimizar bajo reglas

Las carteras reales obedecen reglas: los pesos suman uno, no hay ventas en corto, hay un tope de rotación. Un problema con restricciones es $\min f(\mathbf w)$ sujeto a igualdades $h(\mathbf w)=0$ y desigualdades $g(\mathbf w)\le0$. Con una igualdad, el mejor punto factible es donde $\nabla f$ atraviesa la superficie de la restricción de lado a lado, porque cualquier componente lateral serviría para mejorar $f$ sin salir de la superficie. Esa es la condición de Lagrange $\nabla f+\lambda\nabla h=0$, y el número $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange. Reunirlo todo en el lagrangiano $L=f+\lambda h+\mu g$ convierte el problema con restricciones en la búsqueda de un punto estacionario de $L$.

Para las desigualdades, el conjunto completo de condiciones, que lleva el nombre de Karush, Kuhn y Tucker, tiene cuatro partes: estacionariedad del lagrangiano, factibilidad primal (se cumplen las restricciones), factibilidad dual ($\mu\ge0$) y holgura complementaria ($\mu g=0$). La holgura complementaria dice que cada desigualdad está inactiva, con $g<0$ y $\mu=0$, y entonces no importa, o activa, con $g=0$ y $\mu>0$, y entonces actúa como una igualdad. En un problema convexo estas condiciones son necesarias y suficientes para un óptimo global. El multiplicador es también un precio: es la tasa a la que mejora el mejor valor de $f$ al relajar la restricción en una unidad.

La cartera de mínima varianza es el caso modelo: minimizar $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ sujeto a $\mathbf 1^{T}\mathbf w=1$. La condición de Lagrange $2\Sigma\mathbf w+\lambda\mathbf 1=0$ da $\mathbf w\propto\Sigma^{-1}\mathbf 1$. Para dos activos no correlacionados con varianzas $0.04$ y $0.09$, los pesos son proporcionales a $1/0.04=25$ y $1/0.09=11.1$, así que $w_1=0.692$, $w_2=0.308$ y la varianza de la cartera es $1/(25+11.1)=0.0277$. El multiplicador es $-2$ veces esa varianza mínima. En una cartera real una regla solo largos o un tope de rotación tiene su propio multiplicador, y un $\mu$ grande indica que esa regla cuesta mucho.

• Restricción de igualdad: $\nabla f+\lambda\nabla h=0$ junto con $h=0$.
• Desigualdad: $\mu\ge0$ y $\mu g=0$; activa significa $g=0$, inactiva significa $\mu=0$.
• Precio: un multiplicador es la sensibilidad del mejor valor a una relajación de su restricción.

Lab: qué se califica

• El multiplicador10 pts
• El punto óptimo10 pts
• Relajar la restricción10 pts
• El peso de mínima varianza de dos activos15 pts
• La varianza mínima15 pts
• Las cuatro condiciones KKT15 pts
• Una restricción activa10 pts
• Qué dice un multiplicador15 pts