Restringierte Optimierung und KKT

Optimieren unter Regeln

Echte Portfolios folgen Regeln: Die Gewichte summieren sich zu eins, keine Leerverkäufe, eine Obergrenze für den Umschlag. Ein restringiertes Problem lautet $\min f(\mathbf w)$ unter Gleichungen $h(\mathbf w)=0$ und Ungleichungen $g(\mathbf w)\le0$. Bei einer Gleichung liegt der beste zulässige Punkt dort, wo $\nabla f$ senkrecht durch die Nebenbedingungsfläche zeigt, denn jede seitliche Komponente ließe sich nutzen, um $f$ zu verbessern, ohne die Fläche zu verlassen. Das ist die Lagrange-Bedingung $\nabla f+\lambda\nabla h=0$, und die Zahl $\lambda$ ist der Lagrange-Multiplikator. Fasst man alles in der Lagrange-Funktion $L=f+\lambda h+\mu g$ zusammen, wird aus dem restringierten Problem die Suche nach einem stationären Punkt von $L$.

Für Ungleichungen hat der vollständige Satz von Bedingungen, benannt nach Karush, Kuhn und Tucker, vier Teile: Stationarität der Lagrange-Funktion, primale Zulässigkeit (die Nebenbedingungen gelten), duale Zulässigkeit ($\mu\ge0$) und komplementären Schlupf ($\mu g=0$). Komplementärer Schlupf heißt, jede Ungleichung ist entweder inaktiv, mit $g<0$ und $\mu=0$, und damit ohne Bedeutung, oder aktiv, mit $g=0$ und $\mu>0$, und wirkt dann wie eine Gleichung. Bei einem konvexen Problem sind diese Bedingungen notwendig und hinreichend für ein globales Optimum. Der Multiplikator ist auch ein Preis: die Rate, mit der sich der beste Wert von $f$ verbessert, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird.

Das Minimum-Varianz-Portfolio ist der Musterfall: Minimiere $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ unter $\mathbf 1^{T}\mathbf w=1$. Die Lagrange-Bedingung $2\Sigma\mathbf w+\lambda\mathbf 1=0$ ergibt $\mathbf w\propto\Sigma^{-1}\mathbf 1$. Für zwei unkorrelierte Assets mit Varianzen $0.04$ und $0.09$ sind die Gewichte proportional zu $1/0.04=25$ und $1/0.09=11.1$, also $w_1=0.692$, $w_2=0.308$, und die Portfoliovarianz beträgt $1/(25+11.1)=0.0277$. Der Multiplikator ist $-2$ mal diese minimale Varianz. In einem echten Portfolio hat eine Nur-Long-Regel oder eine Umschlagsgrenze ihren eigenen Multiplikator, und ein großes $\mu$ zeigt, dass diese Regel viel kostet.

• Gleichungsnebenbedingung: $\nabla f+\lambda\nabla h=0$ zusammen mit $h=0$.
• Ungleichung: $\mu\ge0$ und $\mu g=0$; aktiv heißt $g=0$, inaktiv heißt $\mu=0$.
• Preis: Ein Multiplikator ist die Sensitivität des besten Wertes gegenüber einer Lockerung seiner Nebenbedingung.

Lab: Was bewertet wird

• Der Multiplikator10 Pkt.
• Der optimale Punkt10 Pkt.
• Die Nebenbedingung lockern10 Pkt.
• Das Minimum-Varianz-Gewicht zweier Assets15 Pkt.
• Die minimale Varianz15 Pkt.
• Die vier KKT-Bedingungen15 Pkt.
• Eine aktive Nebenbedingung10 Pkt.
• Was ein Multiplikator aussagt15 Pkt.