誤差が過去を覚えているとき
通常の標準誤差は、各誤差が他と独立だと仮定します。重なり合うリターンはこれを壊します。1〜3月のリターンと2〜4月のリターンは2か月を共有するので、誤差は一緒に動きます。係数は正しいままですが、古典的な標準誤差は小さすぎ、t統計量は大きすぎます。ニューウェイ–ウェスト（HAC）共分散がこれを直します。通常の「サンドイッチ」(XᵀX)⁻¹ S (XᵀX)⁻¹ から出発し、中身を各行と残差の積 xₜeₜ で作ります：S=Σₜeₜ²xₜxₜᵀ+ Σₖ₌₁^LwₖΣₜeₜeₜ₋ₖ (xₜxₜ₋ₖᵀ+ xₜ₋ₖxₜᵀ)。バートレット重み wₖ=1-k/(L+1) は古い自己共分散をゼロに近づけ、行列を有効に保ちます。
statsmodels では sm.OLS(y, X).fit(cov_type='HAC', cov_kwds={'maxlags': L}) で同じ行列が得られ、res.tvalues はそのときロバスト標準誤差を使います。一度は手で書く価値があります。ラグ0ではホワイトの不均一分散に頑健な共分散に一致すること、正の自己相関があるとロバスト分散が古典的な分散より大きくなること、ラグ数の選択は判断であること（よくある目安は重なりの長さ程度）が見えてきます。SPYの3か月リターンでは、2005年5月から2026年8月までの重なり合う256個の観測の平均が 2.78%、古典的な t は 6.10 です。ニューウェイ–ウェストでは2ラグで 4.18、6ラグで 3.65 に下がります。なお有意ですが、最初の数字が示すより証拠は弱いのです。
- 重なりは記憶を意味する：重なるリターンは誤差が自己相関をもつので、古典的なt統計量は証拠を過大に見せる。
- サンドイッチ：ニューウェイ–ウェストは (X'X)^-1 S (X'X)^-1 で、S は x_t e_t とバートレット重み付き自己共分散から作る。
- ライブラリを自分の式で確かめる：手計算の行列がライブラリのものと一致すれば、そのオプションの意味が分かったということ。
ラボ：採点される内容
- 重なるリターン10点
- 古典的なt統計量10点
- バートレット重み10点
- 手計算のニューウェイ–ウェスト25点
- statsmodelsでのHAC t統計量15点
- SPYの研究30点