最小化と根探し

2つの仕事：最も低い点を探す、曲線がゼロを横切る点を探す

scipy.optimize は2種類の問題を解きます。1つ目は関数 $f(x)$ の最小化、つまり出力が最も小さくなる入力を探すことです。minimize(f, x0) を呼び、x0 は最初の推測値です。BFGS は $f$ の勾配に沿って下ります。Nelder-Mead は勾配が要らず、値を比べるだけです。SLSQP は、合計が1になる重みのような境界や制約も扱えます。答えは局所的な最小値、つまり出発した谷の底にすぎず、別の x0 なら別の答えになりえます。必ず res.success を確認してください。

2つ目の問題は根探し、つまり $g(x)=0$ を解くことです。brentq(g, a, b) は、両端で $g$ の符号が逆になる区間（挟み込み）を必要とし、区間を何度も半分にして必ず根を見つけます。$n$ 回半分にすると区間の幅は $(b-a)/2^n$ です。newton(g, x0, fprime) は $g$ の傾きを使うのではるかに速いですが、良い出発点が必要で、傾きがほぼ平らだと遠くへ飛ぶことがあります。金融では債券の最終利回りが根です。債券の価格式を市場価格に等しくする利率 $y$ のことです。ニュートン法の1歩は $y_{\text{新}}=y-g(y)/g'(y)$ です。

• 最小化か求解か：minimize は低い点を、brentq と newton は関数がゼロになる点を探す。
• 挟み込みは保証：符号が違えば brentq は必ず収束し、newton は速いが良い出発点が要る。
• 最小値は局所的かもしれない：複数の出発点を試し、res.x を信じる前に res.success を読む。

ラボ：採点される内容

• ニュートン法の1歩15点
• 二分法の分割回数10点
• 最小分散の重み15点
• 仕事ごとの適切な道具15点
• インプライド・ボラティリティの手順10点
• 局所的かもしれない最小値10点
• なぜ挟み込みか、なぜニュートン法は失敗しうるか25点