Minimização e busca de raízes

Duas tarefas: achar o ponto mais baixo, achar onde uma curva cruza o zero

O scipy.optimize resolve dois tipos de problemas. O primeiro é minimizar uma função $f(x)$ , isto é, achar a entrada com a menor saída. Chama-se minimize(f, x0), em que x0 é seu palpite inicial. O método BFGS segue a inclinação de $f$ para baixo. Nelder-Mead não precisa de inclinação e só compara valores. SLSQP também aceita limites e restrições, como pesos que devem somar 1. A resposta é só um mínimo local, o fundo do vale onde você começou, e outro x0 pode dar outra resposta. Confira sempre res.success.

O segundo problema é achar raízes: resolver $g(x)=0$ . brentq(g, a, b) precisa de um intervalo com sinais opostos de $g$ nas pontas, e então com certeza acha uma raiz dividindo o intervalo ao meio repetidamente. Após $n$ divisões o intervalo tem largura $(b-a)/2^n$ . newton(g, x0, fprime) usa a inclinação de $g$ e é bem mais rápido, mas precisa de um bom início e pode saltar longe quando a inclinação é quase plana. Em finanças, o rendimento até o vencimento de um título é uma raiz: é a taxa $y$ que iguala a fórmula de preço do título ao seu preço de mercado. Um passo de Newton é $y_{\text{novo}}=y-g(y)/g'(y)$ .

y_{\text{new}}=y-\frac{g(y)}{g'(y)},\qquad g(y)=\frac{5}{1+y}+\frac{105}{(1+y)^{2}}-98,\qquad \text{width after }n\text{ halvings}=\frac{b-a}{2^{n}}

(1)

O rendimento de um título de dois anosUm título paga

5

após um ano e

105

após dois anos, e custa

98

. Comece em

y=6\%

. A fórmula de preço dá

98{,}17

, então

g=0{,}17

. A inclinação é

g'=-5/1{,}06^{2}-210/1{,}06^{3}=-180{,}8

. Um passo de Newton dá

y=0{,}06-0{,}17/(-180{,}8)=6{,}092\%

, e brentq no intervalo

[0;0{,}5]

confirma a raiz

6{,}0923\%

. Para a bisseção em

[0;1]

ficar a menos de

0{,}001

é preciso

2^{n}\ge1000

, logo

n=10

divisões. Para um mínimo, dois ativos com volatilidades

20

10

e correlação

0{,}2

têm covariância

40

, então o peso de variância mínima do primeiro é

(100-40)/(400+100-80)=0{,}143

. Em dados reais, SPY e TLT em

5\,404

dias desde fevereiro de 2005 têm volatilidades de

19{,}0\%

14{,}6\%

ao ano e correlação

-0{,}30

. O peso de variância mínima no SPY é de

40\%

, com volatilidade de

9{,}7\%

. Para uma função com dois vales, como

x^{4}-3x^{2}+x

, minimize a partir de

x_0=2

para em

1{,}13

e a partir de

x_0=-2

-1{,}30

, que é o mais baixo.

Minimizar ou resolver: minimize acha um ponto baixo, brentq e newton acham onde uma função vale zero.
Um intervalo é uma garantia: brentq sempre converge se os sinais diferem, enquanto newton é mais rápido mas exige um bom início.
Um mínimo pode ser local: teste vários pontos de partida e leia res.success antes de confiar em res.x.

Lab: o que é avaliado

Um passo de Newton15 pts
Divisões da bisseção10 pts
Um peso de variância mínima15 pts
A ferramenta certa para cada trabalho15 pts
Um fluxo de volatilidade implícita10 pts
Um mínimo possivelmente local10 pts
Por que um intervalo e por que Newton pode falhar25 pts

Duas tarefas: achar o ponto mais baixo, achar onde uma curva cruza o zero

y_{\text{new}}=y-\frac{g(y)}{g'(y)},\qquad g(y)=\frac{5}{1+y}+\frac{105}{(1+y)^{2}}-98,\qquad \text{width after }n\text{ halvings}=\frac{b-a}{2^{n}}

(1)

O rendimento de um título de dois anosUm título paga

5

após um ano e

105

após dois anos, e custa

98

. Comece em

y=6\%

. A fórmula de preço dá

98{,}17

, então

g=0{,}17

. A inclinação é

g'=-5/1{,}06^{2}-210/1{,}06^{3}=-180{,}8

. Um passo de Newton dá

y=0{,}06-0{,}17/(-180{,}8)=6{,}092\%

, e brentq no intervalo

[0;0{,}5]

confirma a raiz

6{,}0923\%

. Para a bisseção em

[0;1]

ficar a menos de

0{,}001

é preciso

2^{n}\ge1000

, logo

n=10

divisões. Para um mínimo, dois ativos com volatilidades

20

10

e correlação

0{,}2

têm covariância

40

, então o peso de variância mínima do primeiro é

(100-40)/(400+100-80)=0{,}143

. Em dados reais, SPY e TLT em

5\,404

dias desde fevereiro de 2005 têm volatilidades de

19{,}0\%

14{,}6\%

ao ano e correlação

-0{,}30

. O peso de variância mínima no SPY é de

40\%

, com volatilidade de

9{,}7\%

. Para uma função com dois vales, como

x^{4}-3x^{2}+x

, minimize a partir de

x_0=2

para em

1{,}13

e a partir de

x_0=-2

-1{,}30

, que é o mais baixo.

Minimizar ou resolver: minimize acha um ponto baixo, brentq e newton acham onde uma função vale zero.
Um intervalo é uma garantia: brentq sempre converge se os sinais diferem, enquanto newton é mais rápido mas exige um bom início.
Um mínimo pode ser local: teste vários pontos de partida e leia res.success antes de confiar em res.x.

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Divisões da bisseção10 pts
Um peso de variância mínima15 pts
A ferramenta certa para cada trabalho15 pts
Um fluxo de volatilidade implícita10 pts
Um mínimo possivelmente local10 pts
Por que um intervalo e por que Newton pode falhar25 pts

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