Minimisation et recherche de racines

Deux tâches : trouver le point le plus bas, trouver où une courbe croise zéro

scipy.optimize résout deux sortes de problèmes. Le premier est la minimisation d'une fonction $f(x)$ , c'est-à-dire trouver l'entrée dont la sortie est la plus petite. On appelle minimize(f, x0) où x0 est votre première estimation. La méthode BFGS descend en suivant la pente de $f$ . Nelder-Mead n'a pas besoin de pente et compare simplement des valeurs. SLSQP accepte aussi des bornes et des contraintes, comme des poids dont la somme vaut 1. Le résultat n'est qu'un minimum local, le fond de la vallée où vous avez commencé, et un autre x0 peut donner une autre réponse. Vérifiez toujours res.success.

Le second problème est la recherche de racines : résoudre $g(x)=0$ . brentq(g, a, b) demande un encadrement, deux points où $g$ a des signes opposés, et il est alors sûr de trouver une racine en divisant l'intervalle par deux à répétition. Après $n$ divisions l'intervalle a pour largeur $(b-a)/2^n$ . newton(g, x0, fprime) utilise la pente de $g$ et est bien plus rapide, mais il lui faut un bon point de départ et il peut sauter très loin quand la pente est presque plate. En finance, le rendement à l'échéance d'une obligation est une racine : c'est le taux $y$ qui rend la formule de prix de l'obligation égale à son prix de marché. Un pas de Newton est $y_{\text{nouveau}}=y-g(y)/g'(y)$ .

y_{\text{new}}=y-\frac{g(y)}{g'(y)},\qquad g(y)=\frac{5}{1+y}+\frac{105}{(1+y)^{2}}-98,\qquad \text{width after }n\text{ halvings}=\frac{b-a}{2^{n}}

(1)

Le rendement d'une obligation à deux ansUne obligation paie

5

après un an et

105

après deux ans, et coûte

98

. Partons de

y=6\%

. La formule de prix donne

98{,}17

, donc

g=0{,}17

. La pente est

g'=-5/1{,}06^{2}-210/1{,}06^{3}=-180{,}8

. Un pas de Newton donne

y=0{,}06-0{,}17/(-180{,}8)=6{,}092\%

, et brentq sur l'encadrement

[0;0{,}5]

confirme la racine

6{,}0923\%

. Pour que la dichotomie sur

[0;1]

soit à moins de

0{,}001

, il faut

2^{n}\ge1000

, donc

n=10

divisions. Pour un minimum, deux actifs de volatilités

20

10

et de corrélation

0{,}2

ont une covariance de

40

, donc le poids de variance minimale du premier est

(100-40)/(400+100-80)=0{,}143

. Sur données réelles, SPY et TLT sur

5\,404

jours depuis février 2005 ont des volatilités de

19{,}0\%

14{,}6\%

par an et une corrélation de

-0{,}30

. Le poids de variance minimale en SPY est de

40\%

, pour une volatilité de

9{,}7\%

. Pour une fonction à deux vallées, comme

x^{4}-3x^{2}+x

, minimize depuis

x_0=2

s'arrête à

1{,}13

et depuis

x_0=-2

-1{,}30

, qui est le plus bas.

Minimiser ou résoudre : minimize trouve un point bas, brentq et newton trouvent où une fonction vaut zéro.
Un encadrement est une garantie : brentq converge toujours quand les signes diffèrent, alors que newton est plus rapide mais exige un bon départ.
Un minimum peut être local : essayez plusieurs points de départ et lisez res.success avant de croire res.x.

Lab : ce qui est noté

Un pas de Newton15 pts
Divisions de la dichotomie10 pts
Un poids de variance minimale15 pts
Le bon outil pour chaque tâche15 pts
Un flux de volatilité implicite10 pts
Un minimum peut-être local10 pts
Pourquoi un encadrement, et pourquoi Newton peut échouer25 pts

Deux tâches : trouver le point le plus bas, trouver où une courbe croise zéro

y_{\text{new}}=y-\frac{g(y)}{g'(y)},\qquad g(y)=\frac{5}{1+y}+\frac{105}{(1+y)^{2}}-98,\qquad \text{width after }n\text{ halvings}=\frac{b-a}{2^{n}}

(1)

Le rendement d'une obligation à deux ansUne obligation paie

5

après un an et

105

après deux ans, et coûte

98

. Partons de

y=6\%

. La formule de prix donne

98{,}17

, donc

g=0{,}17

. La pente est

g'=-5/1{,}06^{2}-210/1{,}06^{3}=-180{,}8

. Un pas de Newton donne

y=0{,}06-0{,}17/(-180{,}8)=6{,}092\%

, et brentq sur l'encadrement

[0;0{,}5]

confirme la racine

6{,}0923\%

. Pour que la dichotomie sur

[0;1]

soit à moins de

0{,}001

, il faut

2^{n}\ge1000

, donc

n=10

divisions. Pour un minimum, deux actifs de volatilités

20

10

et de corrélation

0{,}2

ont une covariance de

40

, donc le poids de variance minimale du premier est

(100-40)/(400+100-80)=0{,}143

. Sur données réelles, SPY et TLT sur

5\,404

jours depuis février 2005 ont des volatilités de

19{,}0\%

14{,}6\%

par an et une corrélation de

-0{,}30

. Le poids de variance minimale en SPY est de

40\%

, pour une volatilité de

9{,}7\%

. Pour une fonction à deux vallées, comme

x^{4}-3x^{2}+x

, minimize depuis

x_0=2

s'arrête à

1{,}13

et depuis

x_0=-2

-1{,}30

, qui est le plus bas.

Minimiser ou résoudre : minimize trouve un point bas, brentq et newton trouvent où une fonction vaut zéro.
Un encadrement est une garantie : brentq converge toujours quand les signes diffèrent, alors que newton est plus rapide mais exige un bon départ.
Un minimum peut être local : essayez plusieurs points de départ et lisez res.success avant de croire res.x.

Lab : ce qui est noté

Un pas de Newton15 pts
Divisions de la dichotomie10 pts
Un poids de variance minimale15 pts
Le bon outil pour chaque tâche15 pts
Un flux de volatilité implicite10 pts
Un minimum peut-être local10 pts
Pourquoi un encadrement, et pourquoi Newton peut échouer25 pts

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