Minimización y búsqueda de raíces

Dos tareas: hallar el punto más bajo, hallar dónde una curva cruza el cero

scipy.optimize resuelve dos tipos de problemas. El primero es minimizar una función $f(x)$ , es decir, hallar la entrada con la salida más pequeña. Se llama minimize(f, x0), donde x0 es su estimación inicial. El método BFGS sigue la pendiente de $f$ hacia abajo. Nelder-Mead no necesita pendiente y solo compara valores. SLSQP también acepta límites y restricciones, como pesos que deben sumar 1. La respuesta es solo un mínimo local, el fondo del valle donde empezó, y otro x0 puede dar otra respuesta. Compruebe siempre res.success.

El segundo problema es hallar raíces: resolver $g(x)=0$ . brentq(g, a, b) necesita un intervalo con signos opuestos de $g$ en sus extremos, y entonces seguro encuentra una raíz dividiendo el intervalo a la mitad una y otra vez. Tras $n$ divisiones el intervalo mide $(b-a)/2^n$ . newton(g, x0, fprime) usa la pendiente de $g$ y es mucho más rápido, pero necesita un buen inicio y puede saltar lejos cuando la pendiente es casi plana. En finanzas, el rendimiento al vencimiento de un bono es una raíz: es la tasa $y$ que iguala la fórmula de precio del bono a su precio de mercado. Un paso de Newton es $y_{\text{nuevo}}=y-g(y)/g'(y)$ .

y_{\text{new}}=y-\frac{g(y)}{g'(y)},\qquad g(y)=\frac{5}{1+y}+\frac{105}{(1+y)^{2}}-98,\qquad \text{width after }n\text{ halvings}=\frac{b-a}{2^{n}}

(1)

El rendimiento de un bono a dos añosUn bono paga

5

al año y

105

a los dos años, y cuesta

98

. Partamos de

y=6\%

. La fórmula de precio da

98{,}17

, así que

g=0{,}17

. La pendiente es

g'=-5/1{,}06^{2}-210/1{,}06^{3}=-180{,}8

. Un paso de Newton da

y=0{,}06-0{,}17/(-180{,}8)=6{,}092\%

, y brentq en el intervalo

[0;0{,}5]

confirma la raíz

6{,}0923\%

. Para que la bisección en

[0;1]

quede a menos de

0{,}001

hace falta

2^{n}\ge1000

, o sea

n=10

divisiones. Para un mínimo, dos activos con volatilidades

20

10

y correlación

0{,}2

tienen covarianza

40

, así que el peso de mínima varianza del primero es

(100-40)/(400+100-80)=0{,}143

. Con datos reales, SPY y TLT en

5\,404

días desde febrero de 2005 tienen volatilidades de

19{,}0\%

14{,}6\%

anuales y correlación

-0{,}30

. El peso de mínima varianza en SPY es del

40\%

, con volatilidad de

9{,}7\%

. Para una función con dos valles, como

x^{4}-3x^{2}+x

, minimize desde

x_0=2

se detiene en

1{,}13

y desde

x_0=-2

-1{,}30

, que es el más bajo.

Minimizar o resolver: minimize halla un punto bajo, brentq y newton hallan dónde una función vale cero.
Un intervalo es una garantía: brentq siempre converge si los signos difieren, mientras que newton es más rápido pero exige un buen inicio.
Un mínimo puede ser local: pruebe varios puntos de partida y lea res.success antes de fiarse de res.x.

Lab: qué se califica

Un paso de Newton15 pts
Divisiones de la bisección10 pts
Un peso de mínima varianza15 pts
La herramienta adecuada para cada trabajo15 pts
Un flujo de volatilidad implícita10 pts
Un mínimo posiblemente local10 pts
Por qué un intervalo y por qué Newton puede fallar25 pts

Dos tareas: hallar el punto más bajo, hallar dónde una curva cruza el cero

y_{\text{new}}=y-\frac{g(y)}{g'(y)},\qquad g(y)=\frac{5}{1+y}+\frac{105}{(1+y)^{2}}-98,\qquad \text{width after }n\text{ halvings}=\frac{b-a}{2^{n}}

(1)

El rendimiento de un bono a dos añosUn bono paga

5

al año y

105

a los dos años, y cuesta

98

. Partamos de

y=6\%

. La fórmula de precio da

98{,}17

, así que

g=0{,}17

. La pendiente es

g'=-5/1{,}06^{2}-210/1{,}06^{3}=-180{,}8

. Un paso de Newton da

y=0{,}06-0{,}17/(-180{,}8)=6{,}092\%

, y brentq en el intervalo

[0;0{,}5]

confirma la raíz

6{,}0923\%

. Para que la bisección en

[0;1]

quede a menos de

0{,}001

hace falta

2^{n}\ge1000

, o sea

n=10

divisiones. Para un mínimo, dos activos con volatilidades

20

10

y correlación

0{,}2

tienen covarianza

40

, así que el peso de mínima varianza del primero es

(100-40)/(400+100-80)=0{,}143

. Con datos reales, SPY y TLT en

5\,404

días desde febrero de 2005 tienen volatilidades de

19{,}0\%

14{,}6\%

anuales y correlación

-0{,}30

. El peso de mínima varianza en SPY es del

40\%

, con volatilidad de

9{,}7\%

. Para una función con dos valles, como

x^{4}-3x^{2}+x

, minimize desde

x_0=2

se detiene en

1{,}13

y desde

x_0=-2

-1{,}30

, que es el más bajo.

Minimizar o resolver: minimize halla un punto bajo, brentq y newton hallan dónde una función vale cero.
Un intervalo es una garantía: brentq siempre converge si los signos difieren, mientras que newton es más rápido pero exige un buen inicio.
Un mínimo puede ser local: pruebe varios puntos de partida y lea res.success antes de fiarse de res.x.

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Un paso de Newton15 pts
Divisiones de la bisección10 pts
Un peso de mínima varianza15 pts
La herramienta adecuada para cada trabajo15 pts
Un flujo de volatilidad implícita10 pts
Un mínimo posiblemente local10 pts
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