Modéliser un oui ou un non
Certains résultats ne sont pas des nombres mais des événements : le marché a clôturé en hausse ou en baisse, une action était dans la moitié haute, une entreprise a fait défaut. Une droite ne peut pas modéliser une probabilité car elle peut sortir de l'intervalle 0 à 1. Logit et probit font passer un score linéaire z=α+βx dans une courbe en S. Le logit utilise p=1/(1+e−z), donc le score est le log des cotes ln1−pp. Le probit utilise la fonction de répartition normale p=Φ(z). Ils donnent presque les mêmes probabilités, et les coefficients du probit valent environ 1/1,6 de ceux du logit. Dans statsmodels on écrit smf.logit('up ~ lag', data).fit(), et le modèle est estimé par maximum de vraisemblance, non par moindres carrés : il choisit les coefficients qui rendent les hausses et baisses observées les plus probables.
p=1+e−z1,ln1−pp=α+βx,∂x∂p=p(1−p)β,ℓ=i∑[yilnpi+(1−yi)ln(1−pi)],RMcF2=1−ℓ0ℓ(1) Lire un logit à la mainUn score
z=0,2 donne
p=1/(1+e−0,2)=1/1,8187=0,55. Une pente
β=−0,054 signifie que les cotes sont multipliées par
e−0,054=0,947 pour chaque unité de
x en plus. L'effet sur la probabilité elle-même dépend de l'endroit où l'on se trouve : à
p=0,55 il vaut
p(1−p)β=0,55⋅0,45⋅(−0,054)=−0,0134, l'effet marginal. La vraisemblance additionne les log-probabilités de ce qui s'est passé : pour des hausses prévues
0,8;0,3;0,6 et des résultats
1,0,1, la log-vraisemblance vaut
ln0,8+ln0,7+ln0,6=−1,09. Le pseudo R carré de McFadden compare à un modèle qui n'a qu'une constante : si ce modèle a
ℓ0=−69,3 et le vôtre
ℓ=−60, alors
1−60/69,3=0,134.
Les données réelles gardent la leçon honnête. Pour SPY sur 5403 jours de bourse depuis 2005, 54,86% des jours ont clôturé en hausse. Un logit de la direction du lendemain sur le rendement du jour, en pour cent, donne α^=0,198 et β^=−0,054 avec z=−2,34 (p=0,019) : après une baisse de 2% la chance d'une hausse est de 57,6%, après un jour plat 54,9% et après une hausse de 2% 52,2%. L'effet marginal est −0,0134 et le probit concorde (β^=−0,034, effet marginal −0,0134, même log-vraisemblance −3716,76). Pourtant le R2 de McFadden vaut 0,0007, et prédire une hausse dès que la probabilité dépasse un demi tombe juste 54,97% des jours contre 54,86% pour toujours dire hausse. Un coefficient peut être statistiquement détectable et rester inutile pour le trading.
- Les probabilités demandent une courbe : logit et probit gardent la chance ajustée entre 0 et 1, et concordent de près.
- Les coefficients sont des log-cotes : prenez l'exponentielle pour un rapport de cotes, multipliez par p(1−p) pour un effet sur la probabilité.
Lab : ce qui est noté
- D'un score à une probabilité15 pts
- Un rapport de cotes10 pts
- Un effet marginal15 pts
- Une log-vraisemblance20 pts
- Un pseudo R carré15 pts
- Associer le vocabulaire10 pts
- Significatif mais inutile15 pts
