نماذج اللوجيت والبروبيت

نمذجة نعم أو لا

بعض النتائج ليست أعدادًا بل أحداثًا: أغلق السوق مرتفعًا أو منخفضًا أو كان السهم في النصف الأعلى أو تعثرت شركة. ولا يستطيع الخط المستقيم نمذجة احتمال لأنه قد يخرج عن المدى من 0 إلى 1. ويمرّر اللوجيت والبروبيت درجة خطية $z=\alpha+\beta x$ عبر منحنى على شكل حرف S. يستعمل اللوجيت $p=1/(1+e^{-z})$ فتكون الدرجة لوغاريتم الأرجحية $\ln\frac{p}{1-p}$ . ويستعمل البروبيت دالة التوزيع الطبيعي $p=\Phi(z)$ . وهما يعطيان احتمالات متقاربة جدًا ومعاملات البروبيت نحو $1/1.6$ من معاملات اللوجيت. وفي statsmodels تكتب smf.logit('up ~ lag', data).fit() ويُقدَّر النموذج بالإمكان الأعظم لا بالمربعات الصغرى: فيختار المعاملات التي تجعل الصعود والهبوط المرصودين أرجح ما يكون.

p=\frac{1}{1+e^{-z}},\qquad \ln\frac{p}{1-p}=\alpha+\beta x,\qquad \frac{\partial p}{\partial x}=p(1-p)\beta,\qquad \ell=\sum_i\bigl[y_i\ln p_i+(1-y_i)\ln(1-p_i)\bigr],\qquad R^{2}_{\mathrm{McF}}=1-\frac{\ell}{\ell_0}

(1)

قراءة لوجيت يدويًادرجة

z=0.2

تعطي

p=1/(1+e^{-0.2})=1/1.8187=0.55

. وميل

\beta=-0.054

يعني أن الأرجحية تُضرب في

e^{-0.054}=0.947

لكل وحدة إضافية من

x

. أما الأثر في الاحتمال نفسه فيتوقف على موضعك: عند

p=0.55

يساوي

p(1-p)\beta=0.55\cdot0.45\cdot(-0.054)=-0.0134

وهو الأثر الحدي. وتجمع الإمكانية لوغاريتمات احتمالات ما حدث: فللصعود المتوقع

0.8,0.3,0.6

والنتائج

1,0,1

تكون لوغاريتم الإمكانية

\ln0.8+\ln0.7+\ln0.6=-1.09

. ويقارن شبه معامل التحديد لماكفادن بنموذج ليس فيه إلا ثابت: إن كان له

\ell_0=-69.3

ولنموذجك

\ell=-60

فالنتيجة

1-60/69.3=0.134

تُبقي البيانات الحقيقية الدرس أمينًا. ففي SPY على مدى $5{,}403$ أيام تداول منذ 2005 أغلق $54.86\%$ من الأيام مرتفعًا. وانحدار لوجيت لاتجاه اليوم التالي على عائد اليوم بالنسبة المئوية يعطي $\hat\alpha=0.198$ و $\hat\beta=-0.054$ مع $z=-2.34$ ( $p=0.019$ ): بعد هبوط $2\%$ تكون فرصة يوم صاعد $57.6\%$ وبعد يوم هادئ $54.9\%$ وبعد صعود $2\%$ تكون $52.2\%$ . والأثر الحدي $-0.0134$ ويوافقه البروبيت ( $\hat\beta=-0.034$ وأثر حدي $-0.0134$ ولوغاريتم الإمكانية نفسه $-3716.76$ ). ومع ذلك فإن $R^2$ لماكفادن يساوي $0.0007$ والتنبؤ بالصعود كلما زاد الاحتمال على النصف يصيب $54.97\%$ من الأيام مقابل $54.86\%$ لقول الصعود دائمًا. فقد يكون المعامل قابلًا للكشف إحصائيًا ويبقى بلا نفع في التداول.

الاحتمالات تحتاج منحنى: اللوجيت والبروبيت يُبقيان الاحتمال الملاءَم بين 0 و1 ويتفقان كثيرًا.
المعاملات لوغاريتم أرجحية: خذ الأسّ للحصول على نسبة الأرجحية واضرب في $p(1-p)$ لأثر في الاحتمال.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

من درجة إلى احتمال15 نقطة
نسبة أرجحية10 نقطة
أثر حدي15 نقطة
لوغاريتم الإمكانية20 نقطة
شبه معامل التحديد15 نقطة
طابق المصطلحات10 نقطة
معنوي لكن بلا نفع15 نقطة

نمذجة نعم أو لا

p=\frac{1}{1+e^{-z}},\qquad \ln\frac{p}{1-p}=\alpha+\beta x,\qquad \frac{\partial p}{\partial x}=p(1-p)\beta,\qquad \ell=\sum_i\bigl[y_i\ln p_i+(1-y_i)\ln(1-p_i)\bigr],\qquad R^{2}_{\mathrm{McF}}=1-\frac{\ell}{\ell_0}

(1)

قراءة لوجيت يدويًادرجة

z=0.2

تعطي

p=1/(1+e^{-0.2})=1/1.8187=0.55

. وميل

\beta=-0.054

يعني أن الأرجحية تُضرب في

e^{-0.054}=0.947

لكل وحدة إضافية من

x

. أما الأثر في الاحتمال نفسه فيتوقف على موضعك: عند

p=0.55

يساوي

p(1-p)\beta=0.55\cdot0.45\cdot(-0.054)=-0.0134

وهو الأثر الحدي. وتجمع الإمكانية لوغاريتمات احتمالات ما حدث: فللصعود المتوقع

0.8,0.3,0.6

والنتائج

1,0,1

تكون لوغاريتم الإمكانية

\ln0.8+\ln0.7+\ln0.6=-1.09

. ويقارن شبه معامل التحديد لماكفادن بنموذج ليس فيه إلا ثابت: إن كان له

\ell_0=-69.3

ولنموذجك

\ell=-60

فالنتيجة

1-60/69.3=0.134

الاحتمالات تحتاج منحنى: اللوجيت والبروبيت يُبقيان الاحتمال الملاءَم بين 0 و1 ويتفقان كثيرًا.
المعاملات لوغاريتم أرجحية: خذ الأسّ للحصول على نسبة الأرجحية واضرب في $p(1-p)$ لأثر في الاحتمال.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

من درجة إلى احتمال15 نقطة
نسبة أرجحية10 نقطة
أثر حدي15 نقطة
لوغاريتم الإمكانية20 نقطة
شبه معامل التحديد15 نقطة
طابق المصطلحات10 نقطة
معنوي لكن بلا نفع15 نقطة

نماذج اللوجيت والبروبيت

نمذجة نعم أو لا

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

نماذج اللوجيت والبروبيت

نمذجة نعم أو لا

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.