Modelar un sí o un no
Algunos resultados no son números sino eventos: el mercado cerró al alza o a la baja, una acción estuvo en la mitad superior, una empresa incumplió. Una recta no puede modelar una probabilidad porque puede salir del rango 0 a 1. Logit y probit pasan una puntuación lineal z=α+βx por una curva en S. El logit usa p=1/(1+e−z), así que la puntuación es el logaritmo de las probabilidades relativas ln1−pp. El probit usa la función de distribución normal p=Φ(z). Dan probabilidades casi iguales, y los coeficientes del probit son cerca de 1/1,6 de los del logit. En statsmodels se escribe smf.logit('up ~ lag', data).fit(), y el modelo se estima por máxima verosimilitud, no por mínimos cuadrados: elige los coeficientes que hacen más probables las subidas y bajadas observadas.
p=1+e−z1,ln1−pp=α+βx,∂x∂p=p(1−p)β,ℓ=i∑[yilnpi+(1−yi)ln(1−pi)],RMcF2=1−ℓ0ℓ(1) Leer un logit a manoUna puntuación
z=0,2 da
p=1/(1+e−0,2)=1/1,8187=0,55. Una pendiente
β=−0,054 significa que las probabilidades relativas se multiplican por
e−0,054=0,947 por cada unidad extra de
x. El efecto sobre la probabilidad misma depende de dónde se esté: en
p=0,55 es
p(1−p)β=0,55⋅0,45⋅(−0,054)=−0,0134, el efecto marginal. La verosimilitud suma los logaritmos de las probabilidades de lo ocurrido: para subidas previstas
0,8;0,3;0,6 y resultados
1,0,1 la log-verosimilitud es
ln0,8+ln0,7+ln0,6=−1,09. El pseudo R cuadrado de McFadden compara con un modelo que solo tiene constante: si ese modelo tiene
ℓ0=−69,3 y el suyo
ℓ=−60, entonces
1−60/69,3=0,134.
Los datos reales mantienen honesta la lección. Para SPY en 5403 días de negociación desde 2005, el 54,86% de los días cerró al alza. Un logit de la dirección del día siguiente sobre el rendimiento de hoy, en porcentaje, da α^=0,198 y β^=−0,054 con z=−2,34 (p=0,019): tras una caída del 2% la probabilidad de un día alcista es 57,6%, tras un día plano 54,9% y tras una subida del 2% 52,2%. El efecto marginal es −0,0134 y el probit coincide (β^=−0,034, efecto marginal −0,0134, misma log-verosimilitud −3716,76). Sin embargo el R2 de McFadden es 0,0007, y predecir subida siempre que la probabilidad supere un medio acierta el 54,97% de los días frente al 54,86% de decir siempre subida. Un coeficiente puede ser estadísticamente detectable y seguir siendo inútil para operar.
- Las probabilidades piden una curva: logit y probit mantienen la probabilidad ajustada entre 0 y 1 y coinciden mucho.
- Los coeficientes son log-odds: exponencie para obtener una razón de probabilidades, multiplique por p(1−p) para el efecto sobre la probabilidad.
Lab: qué se califica
- De una puntuación a una probabilidad15 pts
- Una razón de probabilidades10 pts
- Un efecto marginal15 pts
- Una log-verosimilitud20 pts
- Un pseudo R cuadrado15 pts
- Emparejar el vocabulario10 pts
- Significativo pero inútil15 pts
