Ein Ja oder Nein modellieren
Manche Ergebnisse sind keine Zahlen, sondern Ereignisse: Der Markt schloss im Plus oder Minus, eine Aktie lag in der oberen Hälfte, eine Firma fiel aus. Eine Gerade kann keine Wahrscheinlichkeit modellieren, weil sie den Bereich 0 bis 1 verlassen kann. Logit und Probit schicken einen linearen Score z=α+βx durch eine S-Kurve. Das Logit nutzt p=1/(1+e−z), der Score ist also das Log-Odds ln1−pp. Das Probit nutzt die Normalverteilungsfunktion p=Φ(z). Beide liefern fast dieselben Wahrscheinlichkeiten, und die Probit-Koeffizienten betragen etwa 1/1,6 der Logit-Koeffizienten. In statsmodels schreibt man smf.logit('up ~ lag', data).fit(), und das Modell wird per Maximum Likelihood geschätzt, nicht per kleinster Quadrate: Es wählt die Koeffizienten, die die beobachteten Auf- und Abwärtstage am wahrscheinlichsten machen.
p=1+e−z1,ln1−pp=α+βx,∂x∂p=p(1−p)β,ℓ=i∑[yilnpi+(1−yi)ln(1−pi)],RMcF2=1−ℓ0ℓ(1) Ein Logit von Hand lesenEin Score
z=0,2 ergibt
p=1/(1+e−0,2)=1/1,8187=0,55. Eine Steigung
β=−0,054 bedeutet, dass die Odds pro zusätzlicher Einheit von
x mit
e−0,054=0,947 multipliziert werden. Der Effekt auf die Wahrscheinlichkeit selbst hängt davon ab, wo man steht: bei
p=0,55 beträgt er
p(1−p)β=0,55⋅0,45⋅(−0,054)=−0,0134, der Grenzeffekt. Die Likelihood addiert die Log-Wahrscheinlichkeiten dessen, was passiert ist: Für vorhergesagte Anstiege
0,8;0,3;0,6 und Ergebnisse
1,0,1 ist die Log-Likelihood
ln0,8+ln0,7+ln0,6=−1,09. McFaddens Pseudo-R² vergleicht mit einem Modell, das nur einen Achsenabschnitt hat: Hat dieses
ℓ0=−69,3 und Ihres
ℓ=−60, so ist
1−60/69,3=0,134.
Echte Daten halten die Lehre ehrlich. Bei SPY schlossen über 5403 Handelstage seit 2005 54,86% der Tage im Plus. Ein Logit der Richtung des Folgetags auf die heutige Rendite in Prozent ergibt α^=0,198 und β^=−0,054 mit z=−2,34 (p=0,019): Nach einem Rückgang von 2% liegt die Chance auf einen Plus-Tag bei 57,6%, nach einem flachen Tag bei 54,9% und nach einem Anstieg von 2% bei 52,2%. Der Grenzeffekt ist −0,0134, und das Probit stimmt zu (β^=−0,034, Grenzeffekt −0,0134, gleiche Log-Likelihood −3716,76). Dennoch beträgt McFaddens R2 nur 0,0007, und die Vorhersage Anstieg, sobald die Wahrscheinlichkeit über einhalb liegt, trifft an 54,97% der Tage gegenüber 54,86% für immer Anstieg. Ein Koeffizient kann statistisch nachweisbar und trotzdem für den Handel nutzlos sein.
- Wahrscheinlichkeiten brauchen eine Kurve: Logit und Probit halten die angepasste Chance zwischen 0 und 1 und stimmen eng überein.
- Koeffizienten sind Log-Odds: Exponentieren ergibt ein Odds-Ratio, Multiplikation mit p(1−p) einen Effekt auf die Wahrscheinlichkeit.
Lab: Was bewertet wird
- Vom Score zur Wahrscheinlichkeit15 Pkt.
- Ein Odds-Ratio10 Pkt.
- Ein Grenzeffekt15 Pkt.
- Eine Log-Likelihood20 Pkt.
- Ein Pseudo-R²15 Pkt.
- Begriffe zuordnen10 Pkt.
- Signifikant, aber nutzlos15 Pkt.
