Modelar um sim ou um não
Alguns resultados não são números e sim eventos: o mercado fechou em alta ou em baixa, uma ação estava na metade superior, uma empresa deu calote. Uma reta não consegue modelar uma probabilidade porque pode sair do intervalo de 0 a 1. Logit e probit passam um escore linear z=α+βx por uma curva em S. O logit usa p=1/(1+e−z), então o escore é o log das chances ln1−pp. O probit usa a função de distribuição normal p=Φ(z). Dão probabilidades quase iguais, e os coeficientes do probit são cerca de 1/1,6 dos do logit. No statsmodels escreve-se smf.logit('up ~ lag', data).fit(), e o modelo é estimado por máxima verossimilhança, não por mínimos quadrados: escolhe os coeficientes que tornam as altas e baixas observadas mais prováveis.
p=1+e−z1,ln1−pp=α+βx,∂x∂p=p(1−p)β,ℓ=i∑[yilnpi+(1−yi)ln(1−pi)],RMcF2=1−ℓ0ℓ(1) Ler um logit à mãoUm escore
z=0,2 dá
p=1/(1+e−0,2)=1/1,8187=0,55. Uma inclinação
β=−0,054 significa que as chances são multiplicadas por
e−0,054=0,947 a cada unidade extra de
x. O efeito sobre a própria probabilidade depende de onde se está: em
p=0,55 é
p(1−p)β=0,55⋅0,45⋅(−0,054)=−0,0134, o efeito marginal. A verossimilhança soma os logaritmos das probabilidades do que aconteceu: para altas previstas
0,8;0,3;0,6 e resultados
1,0,1 a log-verossimilhança é
ln0,8+ln0,7+ln0,6=−1,09. O pseudo R ao quadrado de McFadden compara com um modelo que só tem constante: se esse modelo tem
ℓ0=−69,3 e o seu
ℓ=−60, então
1−60/69,3=0,134.
Os dados reais mantêm a lição honesta. Para o SPY em 5403 pregões desde 2005, 54,86% dos dias fecharam em alta. Um logit da direção do dia seguinte sobre o retorno de hoje, em percentual, dá α^=0,198 e β^=−0,054 com z=−2,34 (p=0,019): após uma queda de 2% a chance de um dia de alta é 57,6%, após um dia neutro 54,9% e após uma alta de 2% 52,2%. O efeito marginal é −0,0134 e o probit concorda (β^=−0,034, efeito marginal −0,0134, mesma log-verossimilhança −3716,76). Mesmo assim o R2 de McFadden é 0,0007, e prever alta sempre que a probabilidade passa de um meio acerta 54,97% dos dias contra 54,86% de dizer sempre alta. Um coeficiente pode ser estatisticamente detectável e ainda assim inútil para negociar.
- Probabilidades pedem uma curva: logit e probit mantêm a chance ajustada entre 0 e 1 e concordam de perto.
- Os coeficientes são log-chances: exponencie para a razão de chances, multiplique por p(1−p) para o efeito na probabilidade.
Lab: o que é avaliado
- De um escore a uma probabilidade15 pts
- Uma razão de chances10 pts
- Um efeito marginal15 pts
- Uma log-verossimilhança20 pts
- Um pseudo R ao quadrado15 pts
- Associar o vocabulário10 pts
- Significativo mas inútil15 pts
