预测的价值取决于检验
ARIMA(p,d,q) 模型在做 d 次差分之后，用序列 yₜ 自身的过去和过去的冲击来解释它：d=0 时 AR(1) 为 yₜ=c+φ yₜ₋₁+eₜ，当 |φ|<1 时会均值回归，长期均值为 μ=c/(1-φ)。SARIMAX(y, order=(p, d, q), trend='c') 用最大似然拟合它；trend='c' 加入常数项，只有在 d=0 时才有意义（差分后的序列没有可回归的水平）。拟合对象给出 params、aic 和 get_forecast(steps)。AIC =2k-2ln L 在拟合优度与参数个数 k 之间权衡；在同一数据上的候选模型中偏好最低的 AIC，但只有相差几个点才有意义。对 SPY 的月度对数波动率，ARMA(1,1)（AIC 271.9）和 AR(2)（272.7）略胜 AR(1)（275.0），而差分要差得多（290.5）。
样本内的拟合对预测几乎说明不了什么。诚实的检验是滚动起点：在每个起点 t₀，只用 y_1..t₀ 拟合，向前预测 h 步，并与实际出现的值 y_(t₀+h) 比较。收集误差并用 RMSE（√(mean(e²))）评分。一定要包含基线：朴素预测（最后一个值）和历史均值。技能 1-RMSE_模型/RMSE_基线 在模型获胜时为正。这里提前一个月，AR(1) 的 RMSE 为 0.373，朴素为 0.451，均值为 0.419：技能为 0.17 和 0.11。提前十二个月时它的 RMSE 是 0.526，与均值完全相同，它相对朴素预测的技能（0.34）只是来自朴素预测的失败：AR(1) 预测只是衰减回了均值，从 -2.09 到 -2.01。知道预测多快回到均值，就知道模型能看多远。
- 只有不差分时才加常数；用 AIC 比较阶数，只相信相差几个点的结果。
- 滚动起点：每个起点只用过去数据重新拟合；绝不在拟合见过的数据上给预测评分。
- 始终要打败基线：朴素预测与历史均值；技能 1-RMSEₘ/RMSE_b。
实验：评分内容
- SARIMAX 拟合10 分
- 点预测10 分
- 比较阶数15 分
- 滚动起点误差25 分
- RMSE5 分
- 预测技能10 分
- 波动率研究25 分