Theta 与 Rho

价格变动的另外两种方式

Delta、gamma 和 vega 涵盖了股价及其波动率。布莱克-斯科尔斯公式还剩两个输入：到期时间和利率。Theta 是期权价值随时间流逝的变化（公式里的 t 每天都在缩短），Rho 是利率变动时的变化。交易员每天感受到的通常是 theta：多头期权是一种不断损耗的资产，每天损失的权利金就是持有凸性的代价。

import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def d1(spot, strike, rate, sigma, t):
    return (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))

def d2(spot, strike, rate, sigma, t):
    return d1(spot, strike, rate, sigma, t) - sigma * math.sqrt(t)

def call_theta(spot, strike, rate, sigma, t):
    decay = -spot * norm_pdf(d1(spot, strike, rate, sigma, t)) * sigma / (2 * math.sqrt(t))
    carry = -rate * strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d2(spot, strike, rate, sigma, t))
    return decay + carry

theta = call_theta(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(theta, 4))             # -6.414   per year
print(round(theta / 365, 4))       # -0.0176  per calendar day

Theta：为什么时间会造成损失

theta 的第一项 -S * pdf(d1) * sigma / (2 * sqrt(T)) 是*期权价值*的衰减：时间越少，出现大幅波动的机会越少。第二项 -r * K * exp(-rT) * N(d2) 是尚无需支付的行权价所产生的利息，由看涨期权买方获得。对看涨期权两项都为负，所以 theta 为负，而且损失并不均匀：越接近到期越快，平值期权最快。通常按日历日报价，即 theta / 365。

# Theta per day for the same option as expiry approaches: the decay speeds up
import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def call_theta(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    d_2 = d_1 - sigma * math.sqrt(t)
    return -spot * norm_pdf(d_1) * sigma / (2 * math.sqrt(t)) - rate * strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_2)

for days in (360, 90, 30, 7):
    per_day = call_theta(100, 100, 0.05, 0.2, days / 365) / 365
    print(days, "days left:", round(per_day, 4))     # 360: -0.0177, 90: -0.0288, 30: -0.045, 7: -0.0858

Rho：利率

Rho 为 K * T * exp(-rT) * N(d2)：看涨期权为正，因为利率越高，将要支付的行权价的现值越低。看跌期权符号相反。对短期期权它是最小的希腊字母，对长期期权（LEAPS、长期权证）则很重要。按每个利率百分点报价，即 rho / 100，就像 vega 按每个波动率点报价。

# Rho of the one-year call at several rates: it grows with the rate and with the time left
import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def call_rho(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    return strike * t * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_1 - sigma * math.sqrt(t))

for rate in (0.0, 0.05, 0.10):
    print("rate", rate, "rho per point:", round(call_rho(100, 100, rate, 0.2, 1) / 100, 4))   # 0.0: 0.4602, 0.05: 0.5323, 0.1: 0.5931
print("two years, 5%:", round(call_rho(100, 100, 0.05, 0.2, 2) / 100, 4))                  # 1.0568

# Check theta and rho by bumping the inputs: they are slopes of the price
import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def bs_call(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    return spot * norm_cdf(d_1) - strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_1 - sigma * math.sqrt(t))

h = 1e-5
theta = -(bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1 + h) - bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1 - h)) / (2 * h)
rho = (bs_call(100, 100, 0.05 + h, 0.2, 1) - bs_call(100, 100, 0.05 - h, 0.2, 1)) / (2 * h)
print(round(theta, 4), round(rho, 4))                    # -6.414 53.2325

• Theta 是随时间流逝损失的价值：多头看涨期权为负，临近到期和平值时更快；按每日 theta / 365 报价。
• Rho 是对利率的敏感度：看涨为正、看跌为负，期限越长越大；按每点 rho / 100 报价。
• 两者都是价格的斜率，对 t 或 rate 做小扰动即可检验任何公式。

下一节：隐含波动率，把公式反过来用，从期权价格读出市场的波动率。

实验：评分内容

• 用 call_theta 给时间流逝定价25 分
• 用 theta_per_day 给出每日损耗25 分
• 用 call_rho 衡量对利率的敏感度25 分
• 用 rho_per_point 给出每个百分点的 rho25 分