シータとロー

価格が動く、あと2つの理由

デルタ、ガンマ、ベガは株価とそのボラティリティをカバーします。ブラック＝ショールズの式の入力で残るのは、満期までの時間と金利です。シータは時間の経過によるオプション価値の変化（式の t は毎日縮みます）、ローは金利が動いたときの変化です。トレーダーが毎日感じるのは普通シータで、買ったオプションは目減りする資産であり、毎日失うプレミアムは凸性を持つことの対価です。

import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def d1(spot, strike, rate, sigma, t):
    return (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))

def d2(spot, strike, rate, sigma, t):
    return d1(spot, strike, rate, sigma, t) - sigma * math.sqrt(t)

def call_theta(spot, strike, rate, sigma, t):
    decay = -spot * norm_pdf(d1(spot, strike, rate, sigma, t)) * sigma / (2 * math.sqrt(t))
    carry = -rate * strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d2(spot, strike, rate, sigma, t))
    return decay + carry

theta = call_theta(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(theta, 4))             # -6.414   per year
print(round(theta / 365, 4))       # -0.0176  per calendar day

シータ：なぜ時間は痛手なのか

シータの第1項 -S * pdf(d1) * sigma / (2 * sqrt(T)) は*オプション価値*の減衰です。時間が少ないほど大きく動く可能性が減るからです。第2項 -r * K * exp(-rT) * N(d2) は、まだ支払わなくてよい行使価格の利息で、コールの買い手が得ます。コールでは両方とも負なのでシータも負で、損失は一定ではなく、満期が近づくほど、特にアット・ザ・マネーで加速します。通常は暦日あたり theta / 365 で示します。

# Theta per day for the same option as expiry approaches: the decay speeds up
import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def call_theta(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    d_2 = d_1 - sigma * math.sqrt(t)
    return -spot * norm_pdf(d_1) * sigma / (2 * math.sqrt(t)) - rate * strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_2)

for days in (360, 90, 30, 7):
    per_day = call_theta(100, 100, 0.05, 0.2, days / 365) / 365
    print(days, "days left:", round(per_day, 4))     # 360: -0.0177, 90: -0.0288, 30: -0.045, 7: -0.0858

ロー：金利

ローは K * T * exp(-rT) * N(d2) で、コールでは正です。金利が上がると、将来支払う行使価格の現在価値が下がるからです。プットは符号が逆です。満期の短いオプションでは最も小さいギリシャ文字で、長期のもの（LEAPS、長期ワラント）では重要になります。ベガをボラティリティ1ポイントで示すのと同じく、金利1パーセントポイントあたり rho / 100 で示します。

# Rho of the one-year call at several rates: it grows with the rate and with the time left
import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def call_rho(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    return strike * t * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_1 - sigma * math.sqrt(t))

for rate in (0.0, 0.05, 0.10):
    print("rate", rate, "rho per point:", round(call_rho(100, 100, rate, 0.2, 1) / 100, 4))   # 0.0: 0.4602, 0.05: 0.5323, 0.1: 0.5931
print("two years, 5%:", round(call_rho(100, 100, 0.05, 0.2, 2) / 100, 4))                  # 1.0568

# Check theta and rho by bumping the inputs: they are slopes of the price
import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def bs_call(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    return spot * norm_cdf(d_1) - strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_1 - sigma * math.sqrt(t))

h = 1e-5
theta = -(bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1 + h) - bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1 - h)) / (2 * h)
rho = (bs_call(100, 100, 0.05 + h, 0.2, 1) - bs_call(100, 100, 0.05 - h, 0.2, 1)) / (2 * h)
print(round(theta, 4), round(rho, 4))                    # -6.414 53.2325

• シータは時間経過で失う価値。ロング・コールでは負で、満期が近いほど、またアット・ザ・マネーで速い。1日あたり theta / 365 で示す
• ローは金利への感応度。コールでは正、プットでは負で、長期ほど大きい。1ポイントあたり rho / 100 で示す
• どちらも価格の傾きなので、t や rate を少し動かせばどんな式でも検算できる

次はインプライド・ボラティリティです。式を逆に使って、オプション価格から市場のボラティリティを読み取ります。

ラボ：採点される内容

• call_theta で時間の経過を価格にする25点
• theta_per_day で1日あたりの減価を示す25点
• call_rho で金利への感応度を測る25点
• rho_per_point で1パーセントポイントあたりのローを示す25点