明天的一欧元不等于今天的一欧元
如果你每年能赚 5%，今天的 100 一年后变成 105。所以一年后承诺的 105，今天只值 100。这就是折现：去掉它本可以赚到的利息，把未来的金额换算成现值。对年利率 r 和 t 年，PV = cash / (1 + r) ** t。每一只债券、贷款、年金和养老金都是这样定价的，这使它成为接下来固定收益和期权定价的基础。
PV = cash / (1 + r)^t FV = PV * (1 + r)^t
def present_value(cash, rate, years):
return cash / (1 + rate) ** years
print(round(present_value(100, 0.05, 3), 4)) # 86.3838 100 received in 3 years, worth 86.38 today
print(round(present_value(100, 0.05, 0), 4)) # 100.0 no waiting, no discount
print(round(present_value(100, 0.10, 3), 4)) # 75.1315 a higher rate discounts harder净现值
真实的投资以现金流的形式支付：债券支付票息和最后的本金，项目现在花钱、之后几年才收回。净现值（NPV）把每笔现金流按各自的时间折现再相加。列出现金流，第一笔在时间 0，时间就是 0, 1, 2, ...（np.arange(len(flows))），一次调用就能对整个数组折现。净现值为正，说明投资的收益高于折现率；为负则低于折现率。利率上升时，净现值下降。
import numpy as np
flows = np.array([-100.0, 30.0, 40.0, 50.0]) # pay 100 now, receive 30, 40 and 50 over the next three years
times = np.arange(len(flows)) # 0, 1, 2, 3
for rate in (0.08, 0.12, 0.20):
print(rate, round((flows / (1 + rate) ** times).sum(), 3))
# 0.08 1.763 positive: worth doing at 8%
# 0.12 -5.738 negative: not at 12%
# 0.2 -18.287 the higher the rate, the lower the NPV向前复利与连续利率
向前是镜像：FV = PV * (1 + r) ** t。如果按报价利率 r 每年付息 m 次，每期赚 r / m，共有 m * t 期：FV = PV * (1 + r / m) ** (m * t)。付息越频繁，增长略多：5% 的 100 按年是 105.00，按月是 105.12，按日是 105.13。付息连续时，增长因子是 exp(r * t)，折现因子是 exp(-r * t)，这是期权定价使用的形式，因为它在时间上相乘很方便。
import math
for m in (1, 2, 12, 365):
print(m, round(100 * (1 + 0.05 / m) ** (m * 1), 4))
# 1 105.0
# 2 105.0625
# 12 105.1162
# 365 105.1267
print(round(100 * math.exp(0.05), 4)) # 105.1271 continuous compounding, the limit
print(round(math.exp(-0.05 * 3), 5)) # 0.86071 the continuous discount factor for 3 years
print(round(100 * (1 + 0.05 / 12) ** (12 * 3), 3)) # 116.147 100 grows for 3 years with monthly interest# How long to double the money at 5%? Exactly ln 2 / ln 1.05, roughly 72 / 5
print(round(math.log(2) / math.log(1.05), 2), round(72 / 5, 1)) # 14.21 14.4始终说明你指的是哪种利率年化 5%、按月复利 5% 和连续复利 5% 是三种不同的利率：一年内分别把 100 变成 105.00、105.12 和 105.13。悄悄混用它们是定价错误的经典来源。请说明复利约定，时间用年表示，在不同约定之间转换时使用
ln(1 + r) 或 exp(r) - 1。PV = cash / (1 + r) ** t：越晚收到的钱越不值钱，利率越高折现越狠。- NPV = 折现后现金流之和，第一笔在时间 0：
(flows / (1 + r) ** np.arange(n)).sum()；为正则值得做。 FV = PV * (1 + r / m) ** (m * t)；连续：增长exp(r * t)，折现exp(-r * t)；始终说明约定。
下一节：债券价格，用市场利率对票息流和到期本金折现。
实验：评分内容
- 用
present_value把未来的付款折到今天25 分 - 用
npv为一系列现金流估值25 分 - 用
future_value计算复利终值25 分 - 用
continuous_discount_factor连续折现25 分