Valor presente e desconto

Um euro amanhã não é um euro hoje

Se você consegue ganhar 5% ao ano, 100 hoje viram 105 em um ano. Então 105 prometidos em um ano valem só 100 hoje. Isso é descontar: converter um valor futuro em seu valor presente, retirando os juros que ele poderia ter rendido. Para uma taxa anual r e t anos, VP = cash / (1 + r) ** t. Todo título, empréstimo, anuidade e pensão é precificado assim, o que o torna a base da renda fixa e da precificação de opções nos próximos tópicos.

def present_value(cash, rate, years):
    return cash / (1 + rate) ** years

print(round(present_value(100, 0.05, 3), 4))        # 86.3838   100 received in 3 years, worth 86.38 today
print(round(present_value(100, 0.05, 0), 4))        # 100.0     no waiting, no discount
print(round(present_value(100, 0.10, 3), 4))        # 75.1315   a higher rate discounts harder

Valor presente líquido

Investimentos reais pagam em fluxos: um título paga cupons e um principal final, um projeto custa dinheiro agora e o devolve ao longo dos anos. O valor presente líquido (VPL) desconta cada fluxo pelo seu próprio momento e os soma. Liste os fluxos com o primeiro no instante 0, de modo que os instantes são 0, 1, 2, ... (np.arange(len(flows))), e desconte o array inteiro em uma chamada. Um VPL positivo significa que o investimento rende mais que a taxa de desconto; negativo, que rende menos. Quando a taxa sobe, o VPL cai.

import numpy as np

flows = np.array([-100.0, 30.0, 40.0, 50.0])      # pay 100 now, receive 30, 40 and 50 over the next three years
times = np.arange(len(flows))                      # 0, 1, 2, 3

for rate in (0.08, 0.12, 0.20):
    print(rate, round((flows / (1 + rate) ** times).sum(), 3))
# 0.08 1.763      positive: worth doing at 8%
# 0.12 -5.738     negative: not at 12%
# 0.2 -18.287     the higher the rate, the lower the NPV

Capitalizar para o futuro e taxas contínuas

Ir para a frente é a imagem espelhada: VF = PV * (1 + r) ** t. Se os juros são pagos m vezes ao ano à taxa cotada r, cada período rende r / m e há m * t períodos: VF = PV * (1 + r / m) ** (m * t). Um pagamento mais frequente cresce um pouco mais: 100 a 5% viram 105,00 anual, 105,12 mensal, 105,13 diário. No limite do pagamento contínuo o fator de crescimento é exp(r * t) e o de desconto exp(-r * t), a forma usada na precificação de opções porque se multiplica bem no tempo.

import math

for m in (1, 2, 12, 365):
    print(m, round(100 * (1 + 0.05 / m) ** (m * 1), 4))
# 1 105.0
# 2 105.0625
# 12 105.1162
# 365 105.1267

print(round(100 * math.exp(0.05), 4))            # 105.1271   continuous compounding, the limit
print(round(math.exp(-0.05 * 3), 5))              # 0.86071    the continuous discount factor for 3 years
print(round(100 * (1 + 0.05 / 12) ** (12 * 3), 3))   # 116.147   100 grows for 3 years with monthly interest

# How long to double the money at 5%? Exactly ln 2 / ln 1.05, roughly 72 / 5
print(round(math.log(2) / math.log(1.05), 2), round(72 / 5, 1))     # 14.21 14.4

• VP = cash / (1 + r) ** t: dinheiro posterior vale menos; uma taxa maior desconta mais.
• VPL = soma dos fluxos descontados, o primeiro no instante 0: (flows / (1 + r) ** np.arange(n)).sum(); positivo = vale a pena.
• VF = PV * (1 + r / m) ** (m * t); contínuo: crescimento exp(r * t), desconto exp(-r * t); declare sempre a convenção.

A seguir: os preços dos títulos, descontando um fluxo de cupons e um principal final a uma taxa de mercado.

Lab: o que é avaliado

• Trazer um pagamento futuro para hoje com present_value25 pts
• Avaliar um fluxo de pagamentos com npv25 pts
• Capitalizar juros para o futuro com future_value25 pts
• Descontar continuamente com continuous_discount_factor25 pts