Vega

没人能观察到的输入

在布莱克-斯科尔斯公式中，现价、行权价、利率和时间都是已知的，波动率却不是：它是市场对未来波动的预期，每天都在变。因此期权价格严重依赖一个必须猜的数，而对它的敏感度 vega（dC/dsigma）常常是期权账簿最大的风险。在布莱克-斯科尔斯中它是 S * pdf(d1) * sqrt(T)，看涨看跌相同且为正：波动率越高，期权总是越值钱。

import math

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def d1(spot, strike, rate, sigma, t):
    return (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))

def vega(spot, strike, rate, sigma, t):
    return spot * norm_pdf(d1(spot, strike, rate, sigma, t)) * math.sqrt(t)

print(round(vega(100, 100, 0.05, 0.2, 1), 4))             # 37.524   per change of 1.00 in sigma (100 volatility points)
print(round(vega(100, 100, 0.05, 0.2, 1) / 100, 4))       # 0.3752   per volatility point: sigma from 20% to 21%

vega 在哪里最大

平值期权的 vega 最大，因为那里结果最不确定、额外的波动率影响最大；深度实值或虚值期权的 vega 会消退（行权价 80：23.8，100：37.5，120：21.6）。与 gamma 不同，vega 随到期时间增长：三个月 19.6，一年 37.5，四年 62.5，因为存续期越长，波动率发挥作用的时间越多。所以长期期权最容易受波动率变化影响，而短期期权最容易受 gamma 影响。

for strike in (80, 100, 120):
    print("strike", strike, round(vega(100, strike, 0.05, 0.2, 1), 3))
# strike 80 23.806
# strike 100 37.524
# strike 120 21.601
for t in (0.25, 1, 4):
    print("t", t, round(vega(100, 100, 0.05, 0.2, t), 3))
# t 0.25 19.644
# t 1 37.524
# t 4 62.451       vega grows with time to expiry

测量并使用它

波动率以百分点报价，所以风险部门报告每点 vega：vega / 100，即波动率从 20% 升到 21% 时的价格变化。像市场恐慌那样波动率跳升 10 个点，会使平值期权变动约 0.375 * 10 = 3.75，接近其价格的 36%。与 delta、gamma 一样，可以通过扰动为任何模型测量 vega：分别用 sigma + h 和 sigma - h 定价，再取中心差分。对于大幅变动，线性估计略有偏差，因为价格对波动率也是弯曲的。

def bs_call(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = d1(spot, strike, rate, sigma, t)
    return spot * 0.5 * (1 + math.erf(d_1 / math.sqrt(2))) - strike * math.exp(-rate * t) * 0.5 * (1 + math.erf((d_1 - sigma * math.sqrt(t)) / math.sqrt(2)))

def numerical_vega(price_function, sigma, bump):
    return (price_function(sigma + bump) - price_function(sigma - bump)) / (2 * bump)

price = lambda s: bs_call(100, 100, 0.05, s, 1)
print(round(numerical_vega(price, 0.2, 1e-4), 4))                # 37.524   the same as the formula

per_point = vega(100, 100, 0.05, 0.2, 1) / 100
print(round(per_point * 10, 3), round(price(0.30) - price(0.20), 3))    # 3.752 3.781   linear estimate vs exact, for +10 points

# Vega of a put equals vega of a call: build the put price from parity and bump the volatility
put_price = lambda s: bs_call(100, 100, 0.05, s, 1) - 100 + 100 * math.exp(-0.05)
print(round(numerical_vega(put_price, 0.2, 1e-4), 4))       # 37.524   the same number as for the call

• Vega = S * pdf(d1) * sqrt(T)：为正，看涨看跌相同，平值最大，并随期限增长。
• 按每个波动率点报告（vega / 100）；数值上 (f(sigma + h) - f(sigma - h)) / (2h) 适用于任何模型。
• 价格变化 ≈ 每点 vega * 点数：波动率跳升与股价波动同样重要；隐含波动率就是市场的报价。

下一节：Theta 与 Rho，对时间和利率的敏感度。

实验：评分内容

• 用 vega 衡量对波动率的敏感度25 分
• 用 vega_per_point 给出每个波动率点的 vega25 分
• 用 numerical_vega 扰动波动率25 分
• 用 price_change_from_vol 预测波动率变动的影响25 分