Gamma

delta 不是常数

delta 对冲只在一瞬间是精确的。股价一动，期权的 delta 就变了，对冲也就不对了。Gamma 是 delta 随股价的变化率：gamma = d(delta)/dS，即价格的二阶导数。多头看涨或看跌期权的 gamma 为正。在布莱克-斯科尔斯中它等于 pdf(d1) / (S * sigma * sqrt(T))，看涨和看跌相同，其中 pdf 是钟形曲线的密度。gamma 大意味着对冲很快过时，必须经常调整。

import math

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def d1(spot, strike, rate, sigma, t):
    return (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))

def gamma(spot, strike, rate, sigma, t):
    return norm_pdf(d1(spot, strike, rate, sigma, t)) / (spot * sigma * math.sqrt(t))

for spot in (80, 90, 100, 110, 120):
    print(spot, round(gamma(spot, 100, 0.05, 0.2, 1), 5))
# 80 0.0186
# 90 0.02182
# 100 0.01876
# 110 0.01289
# 120 0.0075      gamma peaks near the strike and fades far from it

临近到期时 gamma 变大

对平值期权来说，临近到期时 gamma 急剧上升：剩一年时 0.019，三个月时 0.039，一周时 0.141。临近到期时期权几乎成了在一文不值和值整个波动之间抛硬币，所以 delta 会在极小的价格区间内从 0 跳到 1。这就是临近到期时卖出期权的交易员（空头 gamma）睡不好觉的原因：对冲需要不断调整，一次跳空就会受伤。你也可以用二阶差分 (f(S + h) - 2 f(S) + f(S - h)) / h² 为任何模型估计 gamma，对抛物线是精确的。

for t in (1, 0.25, 0.02):
    print(t, round(gamma(100, 100, 0.05, 0.2, t), 5))
# 1 0.01876
# 0.25 0.03929
# 0.02 0.14087      a week before expiry the at-the-money gamma is 7 times larger

def numerical_gamma(price_function, spot, bump):
    return (price_function(spot + bump) - 2 * price_function(spot) + price_function(spot - bump)) / bump ** 2

price = lambda s: bs_call(s, 100, 0.05, 0.2, 1)               # bs_call as in the previous topic
print(round(numerical_gamma(price, 100, 0.5), 5))             # 0.01876   the same as the formula

gamma 带来的收益

因为 delta 随股价变化，多头期权无论股价朝哪个方向走，赚的都比单靠 delta 预测的多。上涨 5 美元使 delta 从 0.637 升到 0.637 + 0.01876 * 5 = 0.731。一次变动的盈亏是 delta * 变动 + 0.5 * gamma * 变动²：第二项就是多头期权的 gamma 收益（空头则是亏损）。它随变动的平方增长，所以无论哪个方向的大幅波动都对多 gamma 一方有利。这份收益不是免费的：持有者通过期权费和时间价值衰减为它付费。

g = gamma(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
delta = call_delta(100, 100, 0.05, 0.2, 1)                     # as in the delta topic
print(round(delta, 4), round(delta + g * 5, 4))                 # 0.6368 0.7306   the delta after a $5 rise
print(round(call_delta(105, 100, 0.05, 0.2, 1), 4))             # 0.7237          the exact delta at 105 (gamma is a first-order guide)

move = 5
true_gain = bs_call(105, 100, 0.05, 0.2, 1) - bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(true_gain - delta * move, 4), round(0.5 * g * move ** 2, 4))   # 0.2232 0.2345   what delta missed, and what gamma explains

# Dollar gamma: how many dollars of stock the delta hedge changes for a 1% move of the stock at 100
print(round(g * 100 ** 2 / 100, 3))      # 1.876

• Gamma = pdf(d1) / (S * sigma * sqrt(T))，价格的二阶导数；看涨看跌相同，在行权价附近和临近到期时最大。
• 数值 gamma (f(S + h) - 2 f(S) + f(S - h)) / h²；变动后的 delta：delta + gamma * 变动。
• 一次变动带来 delta * 变动 + 0.5 * gamma * 变动²：多头期权在任一方向的大幅波动中获利，代价是时间价值衰减。

下一节：Vega，对波动率的敏感度，这是没人能直接观察到的输入。

实验：评分内容

• 用 gamma 衡量 delta 变化有多快25 分
• 用 numerical_gamma 衡量任意价格的曲率25 分
• 用 delta_after_move 在价格变动后更新 delta25 分
• 用 gamma_pnl 计算曲率带来的收益25 分