Delta

对股价的敏感度

持有期权的交易员需要知道股价变动时账户会怎样。Delta 就是答案：股价每变动一个单位，期权价格的变化，即 dC/dS。看涨期权的 delta 在 0 到 1 之间，看跌在 -1 到 0 之间。在布莱克-斯科尔斯模型中，看涨 delta 就是 N(d1)，看跌 delta 是 N(d1) - 1。delta 为 0.64 的平值一年期看涨期权，在股价上涨一美元时约增值 64 美分。delta 也大致可以理解为期权到期时处于实值的概率。

import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))

def d1(spot, strike, rate, sigma, t):
    return (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))

def call_delta(spot, strike, rate, sigma, t):
    return norm_cdf(d1(spot, strike, rate, sigma, t))

for spot in (80, 90, 100, 110, 120):
    delta = call_delta(spot, 100, 0.05, 0.2, 1)
    print(spot, round(delta, 4), round(delta - 1, 4))      # the call delta and the put delta
# 80 0.2219 -0.7781
# 90 0.4298 -0.5702
# 100 0.6368 -0.3632
# 110 0.7958 -0.2042
# 120 0.8965 -0.1035     deep in the money: the call moves almost one for one with the stock

通过扰动来测量 delta

闭式公式只存在于简单期权。对任何定价模型，都可以数值估计 delta：在股价略高和略低两处给期权定价，再除以间距。中心差分 (f(S + h) - f(S - h)) / (2h) 比单侧差分更精确，对抛物线甚至是精确的。同一个函数对蒙特卡洛价格或二叉树都适用，所以这种「扰动后重新定价」是获得敏感度的通用办法。h 要小，但不能小到舍入噪声占主导（取股价的 1% 是典型的起点）。

def bs_call(spot, strike, rate, sigma, t):
    d_1 = d1(spot, strike, rate, sigma, t)
    return spot * norm_cdf(d_1) - strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d_1 - sigma * math.sqrt(t))

def numerical_delta(price_function, spot, bump):
    return (price_function(spot + bump) - price_function(spot - bump)) / (2 * bump)

price = lambda s: bs_call(s, 100, 0.05, 0.2, 1)          # any function of the spot price will do
print(round(numerical_delta(price, 100, 0.01), 6))        # 0.636831
print(round(call_delta(100, 100, 0.05, 0.2, 1), 6))       # 0.636831   the same as the formula

用 delta 对冲

Delta 把期权头寸变成等价的股票头寸。一份标的 100 股、delta 为 0.64 的看涨合约，在小幅变动中相当于持有 64 股。要消除风险敞口就取相反的头寸：持有 10 份看涨合约多头，就卖出 10 * 100 * 0.6368 = 637 股。对冲后的组合是 delta 中性的：股价小幅波动时其价值几乎不变。对冲只对当前价格正确，所以股价和 delta 变化时必须调整。调整多频繁，是风险与交易成本之间的权衡。

def hedge_shares(contracts, delta, multiplier=100):
    return -contracts * multiplier * delta

delta = call_delta(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(hedge_shares(10, delta), 1))            # -636.8   long 10 call contracts: sell about 637 shares
print(round(hedge_shares(-10, delta), 1))           # 636.8    short 10 call contracts: buy about 637 shares

# After a $1 move the options gain about delta * 1 each and the shares lose about the same
print(round(bs_call(101, 100, 0.05, 0.2, 1) - bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1), 4))    # 0.6461   close to delta, not exactly

# Delta as expiry approaches: at the money it stays near 0.5, in the money it goes to 1, out of the money to 0
for t in (1, 0.25, 0.02):
    print(t, [round(call_delta(spot, 100, 0.05, 0.2, t), 4) for spot in (90, 100, 110)])
# 1 [0.4298, 0.6368, 0.7958]
# 0.25 [0.1898, 0.5695, 0.8704]
# 0.02 [0.0001, 0.5197, 0.9997]

• 看涨 delta N(d1) 在 (0, 1)；看跌 delta N(d1) - 1 在 (-1, 0)：一份期权对应的股票数量。
• 数值 delta (f(S + h) - f(S - h)) / (2h) 适用于任何定价模型；h 要小，但要大于舍入噪声。
• 对冲股数 = -合约数 * 乘数 * delta 使组合对小幅变动 delta 中性；delta 变化时需再平衡。

下一节：Gamma，delta 本身的敏感度，说明对冲多快就会过时。

实验：评分内容

• 用 call_delta 衡量看涨期权对股价的敏感度25 分
• 用 put_delta 推出看跌期权的 delta25 分
• 用 numerical_delta 通过扰动价格来测 delta25 分
• 用 hedge_shares 使仓位中性25 分