Black–Scholes 公式

期权的公式

1973 年，布莱克和斯科尔斯证明：如果股价服从波动率恒定的对数正态模型，期权可以通过交易股票和债券来复制，因此它的价格并不取决于投资者认为上涨有多大可能。欧式看涨期权的价格是 S * N(d1) - K * exp(-rT) * N(d2)：期权到期实值时你得到的股票，按一个类似概率的数加权，减去你支付的折现行权价，按风险中性的行权概率 N(d2) 加权。看跌期权由平价关系得出。

import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))      # N(x): the probability that a standard normal is below x

print(round(norm_cdf(0.0), 4), round(norm_cdf(1.96), 4))      # 0.5 0.975

def d1_d2(spot, strike, rate, sigma, t):
    d1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    return d1, d1 - sigma * math.sqrt(t)

d1, d2 = d1_d2(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(d1, 4), round(d2, 4))                               # 0.35 0.15

看涨与看跌

N 是标准正态分布函数，Python 的 math.erf 可以给出 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))。d1 和 d2 综合了价内程度 ln(S/K)、漂移以及期权存续期内的波动率。由此：看涨 = S * N(d1) - K * exp(-rT) * N(d2)，看跌 = K * exp(-rT) * N(-d2) - S * N(-d1)。现价 100、行权价 100、利率 5%、波动率 20%、期限一年时，看涨价格 10.45，看跌 5.57，差额 4.88 恰好等于平价值 S - K * exp(-rT)。

def bs_call(spot, strike, rate, sigma, t):
    d1, d2 = d1_d2(spot, strike, rate, sigma, t)
    return spot * norm_cdf(d1) - strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d2)

def bs_put(spot, strike, rate, sigma, t):
    d1, d2 = d1_d2(spot, strike, rate, sigma, t)
    return strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(-d2) - spot * norm_cdf(-d1)

call, put = bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1), bs_put(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(call, 4), round(put, 4))                            # 10.4506 5.5735
print(round(call - put, 4), round(100 - 100 * math.exp(-0.05), 4))   # 4.8771 4.8771   put-call parity holds

是什么在推动价格

有五个输入决定价格。行权价越高，看涨期权越便宜（80：24.59，100：10.45，120：3.25）。波动率越高，两种期权都越贵，因为更大的不确定性只会为持有者增加上行空间（10%：6.81，20%：10.45，40%：18.02）。到期时间越长，价格也越高（3 个月：4.62，1 年：10.45，4 年：25.21）。请注意，股票的预期收益率完全没有出现在公式中：只需要估计波动率，所以报价的期权价格常常直接用波动率来表示。

for strike in (80, 100, 120):
    print("strike", strike, round(bs_call(100, strike, 0.05, 0.2, 1), 4))      # 24.5888, 10.4506, 3.2475
for sigma in (0.1, 0.2, 0.4):
    print("sigma", sigma, round(bs_call(100, 100, 0.05, sigma, 1), 4))         # 6.805, 10.4506, 18.023
for t in (0.25, 1, 4):
    print("t", t, round(bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, t), 4))                   # 4.615, 10.4506, 25.2133

# Time value: the call is worth more than its intrinsic value (what it would pay if it expired today)
intrinsic = max(100 - 100 * math.exp(-0.05), 0)
print(round(intrinsic, 4), round(bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1) - intrinsic, 4))     # 4.8771 5.5735   intrinsic value and time value

• N(x) = 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))，以及 d1 = (ln(S/K) + (r + sigma²/2) T) / (sigma sqrt(T))、d2 = d1 - sigma sqrt(T)。
• 看涨 = S N(d1) - K e^(-rT) N(d2)；看跌 = K e^(-rT) N(-d2) - S N(-d1)；二者之差是平价值 S - K e^(-rT)。
• 价格随波动率和期限上升，随看涨期权行权价下降；股票的预期收益率不出现，只需要波动率。

下一节：Delta，股价变动一美元时期权价格变动多少。

实验：评分内容

• 用 norm_cdf 构建钟形曲线的累积概率25 分
• 用 d1_d2 计算布莱克-斯科尔斯的两个量25 分
• 用 bs_call 为看涨期权定价25 分
• 用 bs_put 为看跌期权定价25 分