Die Black–Scholes-Formel

Eine Formel für eine Option

1973 zeigten Black und Scholes: Folgt eine Aktie dem Lognormalmodell mit konstanter Volatilität, lässt sich eine Option durch Handel mit der Aktie und einer Anleihe nachbilden, ihr Preis hängt also nicht davon ab, für wie wahrscheinlich Anleger einen Anstieg halten. Der Preis eines europäischen Calls ist S * N(d1) - K * exp(-rT) * N(d2): die Aktie, die Sie erhalten, wenn die Option im Geld endet, gewichtet mit einer wahrscheinlichkeitsähnlichen Zahl, minus der abgezinste Strike, gewichtet mit der risikoneutralen Ausübungswahrscheinlichkeit N(d2). Der Put folgt aus der Parität.

import math

def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))      # N(x): the probability that a standard normal is below x

print(round(norm_cdf(0.0), 4), round(norm_cdf(1.96), 4))      # 0.5 0.975

def d1_d2(spot, strike, rate, sigma, t):
    d1 = (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    return d1, d1 - sigma * math.sqrt(t)

d1, d2 = d1_d2(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(d1, 4), round(d2, 4))                               # 0.35 0.15

Der Call und der Put

N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, die Pythons math.erf als 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2))) liefert. d1 und d2 verbinden die Moneyness ln(S/K), den Drift und die Volatilität über die Laufzeit der Option. Damit gilt: Call = S * N(d1) - K * exp(-rT) * N(d2) und Put = K * exp(-rT) * N(-d2) - S * N(-d1). Bei Kassakurs 100, Strike 100, 5 % Zins, 20 % Volatilität und einem Jahr kostet der Call 10,45 und der Put 5,57, und die Differenz 4,88 ist genau der Paritätswert S - K * exp(-rT).

def bs_call(spot, strike, rate, sigma, t):
    d1, d2 = d1_d2(spot, strike, rate, sigma, t)
    return spot * norm_cdf(d1) - strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(d2)

def bs_put(spot, strike, rate, sigma, t):
    d1, d2 = d1_d2(spot, strike, rate, sigma, t)
    return strike * math.exp(-rate * t) * norm_cdf(-d2) - spot * norm_cdf(-d1)

call, put = bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1), bs_put(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(call, 4), round(put, 4))                            # 10.4506 5.5735
print(round(call - put, 4), round(100 - 100 * math.exp(-0.05), 4))   # 4.8771 4.8771   put-call parity holds

Was den Preis bewegt

Fünf Eingaben bestimmen den Preis. Ein höherer Strike macht den Call billiger (80: 24,59; 100: 10,45; 120: 3,25). Eine höhere Volatilität verteuert beide Optionen, weil mehr Unsicherheit dem Inhaber nur Aufwärtspotenzial hinzufügt (10 %: 6,81; 20 %: 10,45; 40 %: 18,02). Eine längere Laufzeit erhöht den Preis ebenfalls (3 Monate: 4,62; 1 Jahr: 10,45; 4 Jahre: 25,21). Beachten Sie, dass die erwartete Rendite der Aktie in der Formel überhaupt nicht vorkommt: Nur die Volatilität muss geschätzt werden, weshalb notierte Optionspreise oft als Volatilität ausgedrückt werden.

for strike in (80, 100, 120):
    print("strike", strike, round(bs_call(100, strike, 0.05, 0.2, 1), 4))      # 24.5888, 10.4506, 3.2475
for sigma in (0.1, 0.2, 0.4):
    print("sigma", sigma, round(bs_call(100, 100, 0.05, sigma, 1), 4))         # 6.805, 10.4506, 18.023
for t in (0.25, 1, 4):
    print("t", t, round(bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, t), 4))                   # 4.615, 10.4506, 25.2133

# Time value: the call is worth more than its intrinsic value (what it would pay if it expired today)
intrinsic = max(100 - 100 * math.exp(-0.05), 0)
print(round(intrinsic, 4), round(bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1) - intrinsic, 4))     # 4.8771 5.5735   intrinsic value and time value

• N(x) = 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2))) sowie d1 = (ln(S/K) + (r + sigma²/2) T) / (sigma sqrt(T)), d2 = d1 - sigma sqrt(T).
• Call = S N(d1) - K e^(-rT) N(d2); Put = K e^(-rT) N(-d2) - S N(-d1); ihre Differenz ist der Paritätswert S - K e^(-rT).
• Preise steigen mit Volatilität und Laufzeit und fallen mit dem Strike des Calls; die erwartete Rendite fehlt, nur die Volatilität wird gebraucht.

Als Nächstes: Delta, wie stark sich der Optionspreis bewegt, wenn sich die Aktie um einen Dollar bewegt.

Lab: Was bewertet wird

• Mit norm_cdf die kumulierte Wahrscheinlichkeit der Glocke bauen25 Pkt.
• Mit d1_d2 die beiden Black-Scholes-Größen berechnen25 Pkt.
• Mit bs_call einen Call bewerten25 Pkt.
• Mit bs_put einen Put bewerten25 Pkt.