غاما

دلتا ليست ثابتة

التحوط بدلتا دقيق للحظة فقط. ما إن يتحرك السهم تتغير دلتا الخيار فيصير التحوط خاطئًا. غاما هي معدل تغير دلتا مع السهم: gamma = d(delta)/dS، المشتقة الثانية للسعر. وللكول أو البوت الطويل غاما موجبة. وفي بلاك-شولز تساوي pdf(d1) / (S * sigma * sqrt(T))، وهي نفسها للكول والبوت، حيث pdf كثافة الجرس. وغاما الكبيرة تعني أن التحوط يتقادم بسرعة ويجب تعديله كثيرًا.

import math

def norm_pdf(x):
    return math.exp(-0.5 * x * x) / math.sqrt(2 * math.pi)

def d1(spot, strike, rate, sigma, t):
    return (math.log(spot / strike) + (rate + 0.5 * sigma ** 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))

def gamma(spot, strike, rate, sigma, t):
    return norm_pdf(d1(spot, strike, rate, sigma, t)) / (spot * sigma * math.sqrt(t))

for spot in (80, 90, 100, 110, 120):
    print(spot, round(gamma(spot, 100, 0.05, 0.2, 1), 5))
# 80 0.0186
# 90 0.02182
# 100 0.01876
# 110 0.01289
# 120 0.0075      gamma peaks near the strike and fades far from it

تكبر غاما كلما اقترب الاستحقاق

بالنسبة لخيار عند النقود ترتفع غاما بحدة كلما اقترب الاستحقاق: 0.019 قبل سنة و0.039 قبل ثلاثة أشهر و0.141 قبل أسبوع. وقرب الاستحقاق يكاد الخيار يكون رمية عملة بين انعدام القيمة وقيمة الحركة كاملة، فتنتقل دلتا من 0 إلى 1 في مدى سعري ضئيل. ولهذا ينام المتداولون الذين باعوا خيارات قرب الاستحقاق (غاما سالبة) نومًا مضطربًا: يحتاج التحوط إلى تعديل دائم والقفزة مؤلمة. ويمكن تقدير غاما لأي نموذج بـالفرق الثاني (f(S + h) - 2 f(S) + f(S - h)) / h²، وهو دقيق للقطع المكافئ.

for t in (1, 0.25, 0.02):
    print(t, round(gamma(100, 100, 0.05, 0.2, t), 5))
# 1 0.01876
# 0.25 0.03929
# 0.02 0.14087      a week before expiry the at-the-money gamma is 7 times larger

def numerical_gamma(price_function, spot, bump):
    return (price_function(spot + bump) - 2 * price_function(spot) + price_function(spot - bump)) / bump ** 2

price = lambda s: bs_call(s, 100, 0.05, 0.2, 1)               # bs_call as in the previous topic
print(round(numerical_gamma(price, 100, 0.5), 5))             # 0.01876   the same as the formula

ما تربحه غاما

لأن دلتا تتغير مع السهم يربح الخيار الطويل أكثر مما تتنبأ به دلتا وحدها أيًّا كان اتجاه حركة السهم. ارتفاع 5 دولارات يرفع دلتا من 0.637 إلى 0.637 + 0.01876 * 5 = 0.731. وربح الحركة هو delta * الحركة + 0.5 * gamma * الحركة²: والحد الثاني هو ربح غاما للخيار الطويل (وخسارة للقصير). ينمو مع مربع الحركة، فالحركات الكبيرة في أي اتجاه تخدم الجانب الطويل غاما. وهذا الربح ليس مجانيًا: يدفعه الحامل عبر علاوة الخيار وتآكله الزمني.

g = gamma(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
delta = call_delta(100, 100, 0.05, 0.2, 1)                     # as in the delta topic
print(round(delta, 4), round(delta + g * 5, 4))                 # 0.6368 0.7306   the delta after a $5 rise
print(round(call_delta(105, 100, 0.05, 0.2, 1), 4))             # 0.7237          the exact delta at 105 (gamma is a first-order guide)

move = 5
true_gain = bs_call(105, 100, 0.05, 0.2, 1) - bs_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1)
print(round(true_gain - delta * move, 4), round(0.5 * g * move ** 2, 4))   # 0.2232 0.2345   what delta missed, and what gamma explains

# Dollar gamma: how many dollars of stock the delta hedge changes for a 1% move of the stock at 100
print(round(g * 100 ** 2 / 100, 3))      # 1.876

• غاما = pdf(d1) / (S * sigma * sqrt(T))، المشتقة الثانية للسعر؛ نفسها للكول والبوت، وأكبر قرب سعر التنفيذ والاستحقاق.
• غاما العددية (f(S + h) - 2 f(S) + f(S - h)) / h²؛ دلتا بعد حركة delta + gamma * الحركة.
• تحقق الحركة delta * الحركة + 0.5 * gamma * الحركة²: يربح الخيار الطويل من الحركات الكبيرة في الاتجاهين ويدفع ثمنه تآكلًا زمنيًا.

التالي: فيغا، الحساسية للتقلب، المُدخل الذي لا يستطيع أحد ملاحظته مباشرة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• قِس سرعة تغير دلتا باستخدام gamma25 نقطة
• قِس تقوّس أي سعر باستخدام numerical_gamma25 نقطة
• حدّث دلتا بعد حركة باستخدام delta_after_move25 نقطة
• قدّر فائدة التقوّس باستخدام gamma_pnl25 نقطة