最小方差组合

最安全的组合

组合资产能降低风险，但降低多少取决于权重。最小方差组合是在权重之和为 1 的条件下方差最小的那一组权重。它不需要任何收益预测，只需要协方差矩阵，因此很受欢迎：预期收益极难估计，协方差则容易得多。两个资产时答案是一个公式；资产多时，答案是一个线性方程组的解。

# Two assets: volatility 20% and 10%, correlation 0.3
def variance(w, vol1, vol2, rho):
    return w * w * vol1 ** 2 + (1 - w) ** 2 * vol2 ** 2 + 2 * w * (1 - w) * rho * vol1 * vol2

vol1, vol2, rho = 0.20, 0.10, 0.3
w = (vol2 ** 2 - rho * vol1 * vol2) / (vol1 ** 2 + vol2 ** 2 - 2 * rho * vol1 * vol2)
print(round(w, 4), round(variance(w, vol1, vol2, rho) ** 0.5, 4))        # 0.1053 0.0979
print(round(variance(0.0, vol1, vol2, rho) ** 0.5, 4))                   # 0.1      all in the safe asset: riskier than the mix

多个资产：一个线性方程组

在 sum(w) = 1 的约束下最小化 w @ cov @ w，令拉格朗日函数的导数为零，结果是 w = cov^-1 * 1 / (1' cov^-1 1)：解方程组 cov @ x = ones，再对 x 重新缩放使权重之和为 1。最小方差本身是 1 / (1' cov^-1 1)。代码里用 np.linalg.solve(cov, ones) 而不是 np.linalg.inv(cov) @ ones：因为它不显式求逆，更快也更精确。

# Minimum-variance weights of three assets
import numpy as np

cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
weights = x / x.sum()
print(np.round(weights, 4), round(float(weights.sum()), 4))        # [0.0192 0.7082 0.2726] 1.0
print(round(float(weights @ cov @ weights), 6), round(1 / float(x.sum()), 6))      # 0.007742 twice: the same number

# No other mix with weights summing to 1 does better: try 5000 random ones
import numpy as np

cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
best = x / x.sum()

rng = np.random.default_rng(0)
trial = rng.normal(size=(5000, 3))
trial = trial / trial.sum(axis=1, keepdims=True)                  # each row sums to 1
variances = np.einsum("ij,jk,ik->i", trial, cov, trial)            # w @ cov @ w for every row
print(round(float(variances.min()), 6), round(float(best @ cov @ best), 6))
print(bool(variances.min() >= best @ cov @ best))                  # True

空头与约束

这个公式允许负权重：它可能卖空一个资产来对冲另一个。许多投资者做不到或不愿做，想要只做多的权重。把负权重截为零再重新缩放是一种快速的补救，能保持权重有效，但它不是真正的只做多最优解；因为约束 w >= 0 使问题带有不等式约束，真正的解需要数值求解器（二次规划）。截断后的组合至少是可以持有的，也便于与无约束组合比较。

# The unconstrained solution shorts an asset; clip it and compare the risks
import numpy as np

cov = np.array([[0.04, 0.0342, 0.0],
                [0.0342, 0.0324, 0.0],
                [0.0, 0.0, 0.0225]])        # assets 1 and 2: volatility 20% and 18%, correlation 0.95

x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
free = x / x.sum()
clipped = np.clip(free, 0, None)
clipped = clipped / clipped.sum()
print(np.round(free, 4), round(float(free @ cov @ free), 6))
print(np.round(clipped, 4), round(float(clipped @ cov @ clipped), 6))

• 最小方差只需要协方差矩阵：两个资产时，资产 1 的权重为 (vol2**2 - rho * vol1 * vol2) / (vol1**2 + vol2**2 - 2 * rho * vol1 * vol2)。
• 一般情形 w = solve(cov, ones) / sum(...)，最小方差为 1 / (1' cov^-1 1)；用 np.linalg.solve，不要求逆。
• 无约束的答案可能卖空资产；截为零并重新缩放只是快速补救而非真正最优，权重对估计误差很敏感。

下一节：均值-方差优化，加入预期收益，寻找收益与风险之间的最佳权衡。

实验：评分内容

• 用 two_asset_weight 以最小风险混合两个资产25 分
• 用 min_variance_weights 求出最安全的权重25 分
• 用 min_variance 报告最低风险25 分
• 用 long_only_weights 去掉空头25 分