均值-方差优化

把收益与风险合成一个数

最小方差忽略了收益。均值-方差优化（马科维茨）两者都用：投资者希望预期收益 w @ mu 高、方差 w @ cov @ w 低。一种简单的权衡办法是效用 w @ mu - 0.5 * lambda * w @ cov @ w，其中 lambda 是风险厌恶系数：它越大，一单位方差的代价越高。预期相同但 lambda 不同的两位投资者会选不同的组合，每人的最佳组合都是一个光滑凹函数的最大值点。

import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])                         # expected annual returns
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

def utility(weights, mu, cov, risk_aversion):
    return weights @ mu - 0.5 * risk_aversion * weights @ cov @ weights

equal = np.full(3, 1 / 3)
print(round(float(equal @ mu), 4), round(float(equal @ cov @ equal), 4))      # 0.0767 0.0121
print(round(float(utility(equal, mu, cov, 4.0)), 4))                          # 0.0526

给定风险厌恶下的最佳仓位

在没有预算约束时（其余资金赚取无风险利率，这里按超额收益视为零），最佳仓位在梯度 mu - lambda * cov @ w 为零之处：w = cov^-1 * mu / lambda。代码中就是 np.linalg.solve(cov, mu) / lambda。它按常识缩放：风险厌恶翻倍，仓位减半。权重之和是多少就是多少；剩下的 1 - w.sum() 是现金。

# The best position for several risk aversions: more aversion, smaller bets
import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

for aversion in (5.0, 10.0, 20.0):
    w = np.linalg.solve(cov, mu) / aversion
    print(aversion, np.round(w, 3), "invested", round(float(w.sum()), 3))

切点组合

有无风险资产时，所有投资者持有相同的风险资产组合，只是数量不同。这个组合就是夏普比率 (w @ mu - rf) / sqrt(w @ cov @ w) 最高的那个，即切点组合：w 与 cov^-1 * (mu - rf) 成比例，并重新缩放到和为 1。谨慎的投资者只把部分资金放进去，其余持有现金；大胆的投资者借钱持有更多。决定承担多少风险和决定持有哪些风险资产，是两个独立的问题。

# The tangency portfolio: no other mix of the three assets has a higher Sharpe ratio
import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
rf = 0.02

x = np.linalg.solve(cov, mu - rf)
best = x / x.sum()

def sharpe(w):
    return (w @ mu - rf) / np.sqrt(w @ cov @ w)

rng = np.random.default_rng(1)
trials = rng.normal(size=(2000, 3))
trials = trials / trials.sum(axis=1, keepdims=True)
print(np.round(best, 4), round(float(sharpe(best)), 4))
print(round(max(float(sharpe(w)) for w in trials), 4))      # the best of 2000 random mixes comes close, never above

实现目标收益

换一种问法：在所有权重和为 1 且预期收益给定的组合中，哪个方差最小？有两个约束时，解是两个已解向量 s1 = cov^-1 * 1 和 sm = cov^-1 * mu 的组合，系数来自概括市场的四个数 a, b, c, d。每个目标收益对应一个组合；把它们的风险画出来，就是下一节的有效前沿。

# Minimum-variance portfolios for three target returns
import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
ones = np.ones(3)
s1, sm = np.linalg.solve(cov, ones), np.linalg.solve(cov, mu)
a, b, c = ones @ s1, ones @ sm, mu @ sm
d = a * c - b ** 2

for target in (0.06, 0.08, 0.09):
    w = ((c - b * target) * s1 + (a * target - b) * sm) / d
    print(target, np.round(w, 3), round(float(w @ mu), 4), round(float(np.sqrt(w @ cov @ w)), 4))

• 效用是 w @ mu - 0.5 * lambda * w @ cov @ w；无预算时最佳仓位是 solve(cov, mu) / lambda，lambda 翻倍则减半。
• 有无风险资产时，最佳风险组合是切点组合 solve(cov, mu - rf) 缩放到和为 1：夏普比率最高。
• 对于目标收益，最小方差权重是 solve(cov, ones) 与 solve(cov, mu) 的组合；结果的好坏取决于估计的 mu。

下一节：有效前沿，每个收益水平对应的最优风险曲线。

实验：评分内容

• 用 utility 给组合打分25 分
• 用 utility_weights 找到最佳仓位25 分
• 用 tangency_weights 最大化夏普比率25 分
• 用 target_return_weights 达到目标收益25 分