تحسين المتوسط والتباين

العائد والمخاطر في رقم واحد

التباين الأدنى يتجاهل العوائد. أما تحسين المتوسط والتباين (ماركوفيتز) فيستخدم الاثنين: يريد المستثمر عائدًا متوقعًا w @ mu مرتفعًا وتباينًا w @ cov @ w منخفضًا. وطريقة بسيطة للموازنة بينهما هي المنفعة w @ mu - 0.5 * lambda * w @ cov @ w حيث lambda هو النفور من المخاطر: كلما ارتفع كلفت وحدة التباين أكثر. ومستثمران بالتوقعات نفسها وبـlambda مختلف يختاران محفظتين مختلفتين، وأفضل محفظة لكل منهما هي قمة دالة ملساء مقعّرة.

import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])                         # expected annual returns
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

def utility(weights, mu, cov, risk_aversion):
    return weights @ mu - 0.5 * risk_aversion * weights @ cov @ weights

equal = np.full(3, 1 / 3)
print(round(float(equal @ mu), 4), round(float(equal @ cov @ equal), 4))      # 0.0767 0.0121
print(round(float(utility(equal, mu, cov, 4.0)), 4))                          # 0.0526

أفضل مركز لنفور معين من المخاطر

من دون قيد ميزانية (يربح باقي المال معدل الخالي من المخاطر، ويُعد هنا صفرًا بالزيادة) يكون أفضل مركز حيث ينعدم التدرج mu - lambda * cov @ w: w = cov^-1 * mu / lambda. وفي الكود np.linalg.solve(cov, mu) / lambda. وهو يتدرج كما يقتضي المنطق: ضعف النفور، نصف المركز. ومجموع الأوزان هو ما يلزم؛ والباقي، 1 - w.sum()، نقد.

# The best position for several risk aversions: more aversion, smaller bets
import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

for aversion in (5.0, 10.0, 20.0):
    w = np.linalg.solve(cov, mu) / aversion
    print(aversion, np.round(w, 3), "invested", round(float(w.sum()), 3))

المحفظة المماسية

مع أصل خالٍ من المخاطر يحتفظ كل المستثمرين بالمزيج المخاطر نفسه بكميات مختلفة. وهذا المزيج هو صاحب أعلى نسبة شارب (w @ mu - rf) / sqrt(w @ cov @ w)، أي المحفظة المماسية: w متناسب مع cov^-1 * (mu - rf) ومُعاد تحجيمه ليجمع إلى 1. فالمستثمر الحذر يضع جزءًا من ماله فيها والباقي نقدًا؛ والجريء يقترض ليملك أكثر. وتقرير مقدار المخاطرة وتقرير الأصول المخاطرة مسألتان منفصلتان.

# The tangency portfolio: no other mix of the three assets has a higher Sharpe ratio
import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
rf = 0.02

x = np.linalg.solve(cov, mu - rf)
best = x / x.sum()

def sharpe(w):
    return (w @ mu - rf) / np.sqrt(w @ cov @ w)

rng = np.random.default_rng(1)
trials = rng.normal(size=(2000, 3))
trials = trials / trials.sum(axis=1, keepdims=True)
print(np.round(best, 4), round(float(sharpe(best)), 4))
print(round(max(float(sharpe(w)) for w in trials), 4))      # the best of 2000 random mixes comes close, never above

بلوغ عائد مستهدف

طريقة أخرى لطرح السؤال: من بين كل المحافظ التي مجموعها 1 ولها عائد متوقع معين، أيها له أقل تباين؟ مع قيدين يكون الحل تركيبة من المتجهين المحلولين s1 = cov^-1 * 1 وsm = cov^-1 * mu بمعاملات من أربعة أعداد a, b, c, d تلخص السوق. وكل عائد مستهدف يعطي محفظة؛ ورسم مخاطر جميعها هو الحدود الكفؤة في الموضوع التالي.

# Minimum-variance portfolios for three target returns
import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.05, 0.10])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
ones = np.ones(3)
s1, sm = np.linalg.solve(cov, ones), np.linalg.solve(cov, mu)
a, b, c = ones @ s1, ones @ sm, mu @ sm
d = a * c - b ** 2

for target in (0.06, 0.08, 0.09):
    w = ((c - b * target) * s1 + (a * target - b) * sm) / d
    print(target, np.round(w, 3), round(float(w @ mu), 4), round(float(np.sqrt(w @ cov @ w)), 4))

• المنفعة هي w @ mu - 0.5 * lambda * w @ cov @ w؛ وأفضل مركز بلا ميزانية هو solve(cov, mu) / lambda، ومضاعفة lambda تنصّفه.
• مع أصل خالٍ من المخاطر يكون أفضل مزيج مخاطر هو المحفظة المماسية solve(cov, mu - rf) بعد تحجيمها لتجمع إلى 1: أعلى نسبة شارب.
• لعائد مستهدف تكون أوزان التباين الأدنى تركيبة من solve(cov, ones) وsolve(cov, mu)؛ ولا تزيد جودة النتيجة عن جودة mu المقدَّر.

التالي: الحدود الكفؤة، منحنى أفضل مخاطر لكل مستوى من العائد.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• قيّم محفظة باستخدام utility25 نقطة
• اعثر على أفضل مركز باستخدام utility_weights25 نقطة
• عظّم نسبة شارب باستخدام tangency_weights25 نقطة
• حقّق عائدًا مستهدفًا باستخدام target_return_weights25 نقطة