最小分散ポートフォリオ

最も安全な組み合わせ

資産を組み合わせるとリスクは下がりますが、どれだけ下がるかはウェイト次第です。最小分散ポートフォリオは、合計が1になるウェイトのうち分散が最も小さくなる選択です。リターンの予測は不要で、共分散行列だけで決まるため人気があります。期待リターンの推定は非常に難しく、共分散ははるかに楽だからです。2資産なら答えは公式、多数ならば連立一次方程式の解です。

# Two assets: volatility 20% and 10%, correlation 0.3
def variance(w, vol1, vol2, rho):
    return w * w * vol1 ** 2 + (1 - w) ** 2 * vol2 ** 2 + 2 * w * (1 - w) * rho * vol1 * vol2

vol1, vol2, rho = 0.20, 0.10, 0.3
w = (vol2 ** 2 - rho * vol1 * vol2) / (vol1 ** 2 + vol2 ** 2 - 2 * rho * vol1 * vol2)
print(round(w, 4), round(variance(w, vol1, vol2, rho) ** 0.5, 4))        # 0.1053 0.0979
print(round(variance(0.0, vol1, vol2, rho) ** 0.5, 4))                   # 0.1      all in the safe asset: riskier than the mix

多数の資産：1つの連立一次方程式

sum(w) = 1 の制約のもとで w @ cov @ w を最小化するには、ラグランジアンの微分をゼロにします。結果は w = cov^-1 * 1 / (1' cov^-1 1) です。連立方程式 cov @ x = ones を解き、ウェイトの合計が1になるよう x を割ります。最小分散そのものは 1 / (1' cov^-1 1) です。コードでは np.linalg.inv(cov) @ ones ではなく np.linalg.solve(cov, ones) を使います。逆行列を作らないので、速く正確です。

# Minimum-variance weights of three assets
import numpy as np

cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
weights = x / x.sum()
print(np.round(weights, 4), round(float(weights.sum()), 4))        # [0.0192 0.7082 0.2726] 1.0
print(round(float(weights @ cov @ weights), 6), round(1 / float(x.sum()), 6))      # 0.007742 twice: the same number

# No other mix with weights summing to 1 does better: try 5000 random ones
import numpy as np

cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
best = x / x.sum()

rng = np.random.default_rng(0)
trial = rng.normal(size=(5000, 3))
trial = trial / trial.sum(axis=1, keepdims=True)                  # each row sums to 1
variances = np.einsum("ij,jk,ik->i", trial, cov, trial)            # w @ cov @ w for every row
print(round(float(variances.min()), 6), round(float(best @ cov @ best), 6))
print(bool(variances.min() >= best @ cov @ best))                  # True

ショートと制約

この式は負のウェイトを許し、ある資産をショートして別の資産をヘッジすることがあります。多くの投資家はそれができない、またはしたくなく、ロングオンリーのウェイトを求めます。負のウェイトを0にして再スケールするのは、有効なウェイトを保つ手軽な応急処置ですが、真のロングオンリー最適解ではありません。制約 w >= 0 が不等式制約を生むため、本物の解には数値ソルバー（2次計画法）が必要です。切り詰めたポートフォリオは少なくとも保有でき、制約なしのものと比べやすい利点があります。

# The unconstrained solution shorts an asset; clip it and compare the risks
import numpy as np

cov = np.array([[0.04, 0.0342, 0.0],
                [0.0342, 0.0324, 0.0],
                [0.0, 0.0, 0.0225]])        # assets 1 and 2: volatility 20% and 18%, correlation 0.95

x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
free = x / x.sum()
clipped = np.clip(free, 0, None)
clipped = clipped / clipped.sum()
print(np.round(free, 4), round(float(free @ cov @ free), 6))
print(np.round(clipped, 4), round(float(clipped @ cov @ clipped), 6))

• 最小分散に必要なのは共分散行列だけ。2資産なら資産1に (vol2**2 - rho * vol1 * vol2) / (vol1**2 + vol2**2 - 2 * rho * vol1 * vol2)
• 一般には w = solve(cov, ones) / sum(...)、最小分散は 1 / (1' cov^-1 1)。逆行列ではなく np.linalg.solve を使う
• 制約なしの答えは資産をショートすることがある。0への切り詰めと再スケールは応急処置で真の最適解ではなく、ウェイトは推定誤差に弱い

次は平均・分散最適化です。期待リターンを加えて、リターンとリスクの最良のバランスを探します。

ラボ：採点される内容

• two_asset_weight で2資産を最小リスクで混ぜる25点
• min_variance_weights で最も安全なウェイトを解く25点
• min_variance で最小のリスクを報告する25点
• long_only_weights でショートを外す25点