Minimum-Varianz-Portfolio

Die sicherste Mischung

Das Kombinieren von Assets senkt das Risiko, aber wie stark, hängt von den Gewichten ab. Das Minimum-Varianz-Portfolio ist die Wahl der Gewichte mit Summe 1, die die kleinstmögliche Varianz hat. Es braucht keine Renditeprognose, nur die Kovarianzmatrix, was es beliebt macht: Erwartete Renditen sind sehr schwer zu schätzen, Kovarianzen deutlich weniger. Für zwei Assets ist die Antwort eine Formel, für viele die Lösung eines linearen Gleichungssystems.

# Two assets: volatility 20% and 10%, correlation 0.3
def variance(w, vol1, vol2, rho):
    return w * w * vol1 ** 2 + (1 - w) ** 2 * vol2 ** 2 + 2 * w * (1 - w) * rho * vol1 * vol2

vol1, vol2, rho = 0.20, 0.10, 0.3
w = (vol2 ** 2 - rho * vol1 * vol2) / (vol1 ** 2 + vol2 ** 2 - 2 * rho * vol1 * vol2)
print(round(w, 4), round(variance(w, vol1, vol2, rho) ** 0.5, 4))        # 0.1053 0.0979
print(round(variance(0.0, vol1, vol2, rho) ** 0.5, 4))                   # 0.1      all in the safe asset: riskier than the mix

Viele Assets: ein lineares System

Um w @ cov @ w unter der Nebenbedingung sum(w) = 1 zu minimieren, setzt man die Ableitung der Lagrange-Funktion null. Das Ergebnis ist w = cov^-1 * 1 / (1' cov^-1 1): Man löst das System cov @ x = ones und skaliert x, sodass die Gewichte sich zu 1 summieren. Die minimale Varianz selbst ist 1 / (1' cov^-1 1). Im Code nimmt man np.linalg.solve(cov, ones), nicht np.linalg.inv(cov) @ ones: schneller und genauer, weil die Inverse nie gebildet wird.

# Minimum-variance weights of three assets
import numpy as np

cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
weights = x / x.sum()
print(np.round(weights, 4), round(float(weights.sum()), 4))        # [0.0192 0.7082 0.2726] 1.0
print(round(float(weights @ cov @ weights), 6), round(1 / float(x.sum()), 6))      # 0.007742 twice: the same number

# No other mix with weights summing to 1 does better: try 5000 random ones
import numpy as np

cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])
x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
best = x / x.sum()

rng = np.random.default_rng(0)
trial = rng.normal(size=(5000, 3))
trial = trial / trial.sum(axis=1, keepdims=True)                  # each row sums to 1
variances = np.einsum("ij,jk,ik->i", trial, cov, trial)            # w @ cov @ w for every row
print(round(float(variances.min()), 6), round(float(best @ cov @ best), 6))
print(bool(variances.min() >= best @ cov @ best))                  # True

Shorts und Nebenbedingungen

Die Formel erlaubt negative Gewichte: Sie kann ein Asset leerverkaufen, um ein anderes abzusichern. Viele Anleger können oder wollen das nicht und wollen Long-only-Gewichte. Negative Gewichte auf null zu setzen und neu zu skalieren ist eine schnelle Notlösung, die gültige Gewichte liefert, aber nicht das echte Long-only-Optimum, für das ein numerischer Löser (quadratische Programmierung) nötig ist, weil die Bedingung w >= 0 das Problem zu einem mit Ungleichungsnebenbedingungen macht. Das gekappte Portfolio ist immerhin haltbar und leicht mit dem freien zu vergleichen.

# The unconstrained solution shorts an asset; clip it and compare the risks
import numpy as np

cov = np.array([[0.04, 0.0342, 0.0],
                [0.0342, 0.0324, 0.0],
                [0.0, 0.0, 0.0225]])        # assets 1 and 2: volatility 20% and 18%, correlation 0.95

x = np.linalg.solve(cov, np.ones(3))
free = x / x.sum()
clipped = np.clip(free, 0, None)
clipped = clipped / clipped.sum()
print(np.round(free, 4), round(float(free @ cov @ free), 6))
print(np.round(clipped, 4), round(float(clipped @ cov @ clipped), 6))

• Minimale Varianz braucht nur die Kovarianzmatrix: für zwei Assets (vol2**2 - rho * vol1 * vol2) / (vol1**2 + vol2**2 - 2 * rho * vol1 * vol2) in Asset 1.
• Allgemein w = solve(cov, ones) / sum(...), die minimale Varianz ist 1 / (1' cov^-1 1); nehmen Sie np.linalg.solve, nicht die Inverse.
• Die freie Lösung kann Assets leerverkaufen; Kappen auf null und Neuskalieren ist eine schnelle Notlösung, nicht das echte Optimum, und die Gewichte reagieren empfindlich auf Schätzfehler.

Als Nächstes: Mittelwert-Varianz-Optimierung, die erwarteten Renditen hinzunehmen und den besten Kompromiss zwischen Rendite und Risiko finden.

Lab: Was bewertet wird

• Mit two_asset_weight zwei Assets risikoärmstmöglich mischen25 Pkt.
• Mit min_variance_weights die sichersten Gewichte lösen25 Pkt.
• Mit min_variance das geringste Risiko angeben25 Pkt.
• Mit long_only_weights die Shorts entfernen25 Pkt.